Determine whether each system mathcal{H} given below is BIBO stable.
\mathcal{H} x(n)=\sum_{k=n}^{\infty} x(k)

Passo 1

O enunciado dá o sistema discreto
\mathcal{H}x(n)=\sum_{k=n}^{\infty} x(k)
e pede para determinar se esse sistema é BIBO estável. Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão do operador que produz a saída y(n)=\mathcal{H}x(n) a partir da entrada x(\cdot).
  • Não há outras restrições sobre o tipo de sequência x(n); portanto considerar-se-á o caso geral de entradas limitadas (bounded).

Passo 2

Definição precisa de BIBO estabilidade (explicação didática):
  • Dizemos que um sistema é BIBO estável se, para toda entrada limitada, a saída também for limitada.
  • “Entrada limitada” significa que existe uma constante B<\infty tal que |x(n)|\le B para todo n. Uma maneira compacta de escrever isso é
\|x\|_{\infty}=\sup_{n}|x(n)|<\infty.
  • “Saída limitada” significa que \|y\|_{\infty}=\sup_{n}|y(n)|<\infty.
  • Para provar que um sistema é BIBO estável é preciso mostrar que todo x limitado produz um y limitado. Para provar que não é BIBO estável basta encontrar um exemplo concreto de entrada limitada que gere uma saída não limitada (contraexemplo).

Passo 3

Construção do contraexemplo (estratégia): tentar a entrada mais simples e claramente limitada, por exemplo a sequência constante x(n)=1 para todo n. Essa escolha é natural porque somas infinitas de constantes frequentemente divergem — e se divergem já teremos saída não limitada.

Passo 4

Verificação do contraexemplo passo a passo:
  • A entrada x(n)=1 é limitada, pois
\|x\|_{\infty}=\sup_{n}|x(n)|=1<\infty.
  • Calcule a saída associada:
y(n)=\mathcal{H}x(n)=\sum_{k=n}^{\infty} x(k)=\sum_{k=n}^{\infty} 1.
  • A série \sum_{k=n}^{\infty} 1 é uma soma infinita de termos 1, portanto diverge para +\infty. Em particular para todo n a soma não é um número finito; podemos dizer que |y(n)|=+\infty (ou que os somatórios parciais tendem a infinito). Logo
\sup_{n}|y(n)|=+\infty,
ou seja, a saída não é limitada.

Passo 5

Conclusão lógica:
  • Encontrou-se uma entrada limitada ( \|x\|_{\infty}=1) que produz uma saída não limitada ( \|y\|_{\infty}=+\infty). Portanto, pela definição, o sistema \mathcal{H} não é BIBO estável.
  • Observação adicional (útil para a prova): embora algumas entradas (por exemplo, entradas de suporte finito ou absolutamente somáveis) gerem saídas finitas, BIBO exige responsabilidade para todas as entradas limitadas — e basta um contraexemplo para falhar.

Resposta

Não — o sistema \mathcal{H}x(n)=\sum_{k=n}^{\infty} x(k) não é BIBO estável.

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