Determine whether each system
given below is BIBO stable.
Passo 1
O enunciado dá o sistema discreto
e pede para determinar se esse sistema é BIBO estável. Informações relevantes fornecidas:
- A expressão do operador que produz a saída
a partir da entrada . - Não há outras restrições sobre o tipo de sequência
; portanto considerar-se-á o caso geral de entradas limitadas (bounded).
Passo 2
Definição precisa de BIBO estabilidade (explicação didática):
- Dizemos que um sistema é BIBO estável se, para toda entrada limitada, a saída também for limitada.
- “Entrada limitada” significa que existe uma constante
tal que para todo . Uma maneira compacta de escrever isso é
- “Saída limitada” significa que
. - Para provar que um sistema é BIBO estável é preciso mostrar que todo
limitado produz um limitado. Para provar que não é BIBO estável basta encontrar um exemplo concreto de entrada limitada que gere uma saída não limitada (contraexemplo).
Passo 3
Construção do contraexemplo (estratégia): tentar a entrada mais simples e claramente limitada, por exemplo a sequência constante
para todo
. Essa escolha é natural porque somas infinitas de constantes frequentemente divergem — e se divergem já teremos saída não limitada.
Passo 4
Verificação do contraexemplo passo a passo:
- A entrada
é limitada, pois
- Calcule a saída associada:
- A série
é uma soma infinita de termos , portanto diverge para . Em particular para todo a soma não é um número finito; podemos dizer que (ou que os somatórios parciais tendem a infinito). Logo
ou seja, a saída não é limitada.
Passo 5
Conclusão lógica:
- Encontrou-se uma entrada limitada (
) que produz uma saída não limitada ( ). Portanto, pela definição, o sistema não é BIBO estável. - Observação adicional (útil para a prova): embora algumas entradas (por exemplo, entradas de suporte finito ou absolutamente somáveis) gerem saídas finitas, BIBO exige responsabilidade para todas as entradas limitadas — e basta um contraexemplo para falhar.
Resposta
Não — o sistema
não é BIBO estável.