Determine whether each system
given below is BIBO stable.
Passo 1
O enunciado dá o sistema
e pede para determinar se esse sistema é BIBO estável.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A entrada é uma sequência real
. - A saída é a sequência
. - A pergunta é única: “o sistema é BIBO estável?” (ou seja, para toda entrada limitada, a saída é limitada).
Passo 2
Definição de BIBO estabilidade (explicada devagar):
Um sistema é BIBO estável se, sempre que a entrada for limitada (existe
tal que
para todo
), a saída
também for limitada (existe
tal que
para todo
).
Um sistema é BIBO estável se, sempre que a entrada
- “Entrada limitada” significa que há um número finito
que funciona como teto para todos os valores de . - “Saída limitada” significa que há um número finito
que funciona como teto para todos os valores de .
Para provar BIBO estabilidade basta: assumire encontrar um que sirva para todos os .
Passo 3
Escrevendo a saída em termos da entrada:
Note (passo didático):
para todo
, logo
. Isso será usado para comparar tamanhos.
Passo 4
Estabelecendo desigualdades úteis: para todo
,
Como
é positivo (denominador positivo), temos também
. Juntando:
Passo 5
Escolhendo a constante
: a desigualdade do passo anterior mostra que podemos tomar
. Assim, se a entrada for limitada (qualquer
serve), a saída satisfaz
para todo
. Portanto a saída é limitada por
.
Passo 6
Conclusão e observações finais (motivação para a prova): o argumento não usou nenhuma hipótese adicional sobre
além de que os valores sejam reais; de fato, mesmo para entradas muito grandes a saída fica pequena (tende a
), e para entradas pequenas a saída atinge no máximo
. Assim o sistema é BIBO estável. Dica prática: em provas, ao ver funções do tipo
já fique atento que o denominador tem um mínimo positivo, o que costuma garantir uma saída limitada — é exatamente isso que usamos aqui.
Resposta
BIBO estável.