Determine whether each system mathcal{H} given below is BIBO stable.
\mathcal{H} x(n)=\frac{1}{1+|x(n)|}

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\mathcal{H}x(n)=\frac{1}{1+|x(n)|}
e pede para determinar se esse sistema é BIBO estável.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A entrada é uma sequência real x(n).
  • A saída é a sequência y(n)=\dfrac{1}{1+|x(n)|}.
  • A pergunta é única: “o sistema é BIBO estável?” (ou seja, para toda entrada limitada, a saída é limitada).

Passo 2

Definição de BIBO estabilidade (explicada devagar):
Um sistema é BIBO estável se, sempre que a entrada x(n) for limitada (existe B<\infty tal que |x(n)|\le B para todo n), a saída y(n) também for limitada (existe M<\infty tal que |y(n)|\le M para todo n).
  • “Entrada limitada” significa que há um número finito B que funciona como teto para todos os valores de |x(n)|.
  • “Saída limitada” significa que há um número finito M que funciona como teto para todos os valores de |y(n)|.
    Para provar BIBO estabilidade basta: assumir |x(n)|\le B e encontrar um M que sirva para todos os n.

Passo 3

Escrevendo a saída em termos da entrada:
y(n)=\frac{1}{1+|x(n)|}.
Note (passo didático): |x(n)|\ge 0 para todo n, logo 1+|x(n)|\ge 1. Isso será usado para comparar tamanhos.

Passo 4

Estabelecendo desigualdades úteis: para todo n,
1+|x(n)|\ge 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{1+|x(n)|}\le \frac{1}{1}=1.
Como y(n) é positivo (denominador positivo), temos também y(n)\ge 0. Juntando:
0 \le |y(n)| = \frac{1}{1+|x(n)|}\le 1\qquad\text{para todo }n.

Passo 5

Escolhendo a constante M: a desigualdade do passo anterior mostra que podemos tomar M=1. Assim, se a entrada for limitada (qualquer B serve), a saída satisfaz |y(n)|\le 1 para todo n. Portanto a saída é limitada por M=1.

Passo 6

Conclusão e observações finais (motivação para a prova): o argumento não usou nenhuma hipótese adicional sobre x(n) além de que os valores sejam reais; de fato, mesmo para entradas muito grandes a saída fica pequena (tende a 0), e para entradas pequenas a saída atinge no máximo 1. Assim o sistema é BIBO estável. Dica prática: em provas, ao ver funções do tipo 1/(1+|x|) já fique atento que o denominador tem um mínimo positivo, o que costuma garantir uma saída limitada — é exatamente isso que usamos aqui.

Resposta

BIBO estável.

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