Determine whether each system
given below is causal.
Passo 1
O enunciado dá o sistema discreto-linear (operador) definido por
e pede para determinar se esse sistema é causal. Informações relevantes fornecidas:
- A variável de tempo é
, assumida inteira ( ). - A saída no tempo
é dada em função de uma única amostra de entrada, , multiplicada por .
A pergunta explícita: “o sistemaé causal?”
Passo 2
Definição de causalidade (explicada de forma didática):
Um sistema discreto é causal se, para todo instante , a saída em
depende apenas de valores da entrada em instantes
(isto é, do presente e do passado), nunca do futuro. Em símbolos: para todo
, as amostras de
necessárias para calcular
devem ter índices
tais que
. Se existir algum
tal que a saída em
dependa de algum
com
, então o sistema é não causal.
Um sistema discreto é causal se, para todo instante
Breve exemplo ilustrativo (para fixar): se a saída fosse
, ela é causal porque depende apenas de
em
. Se fosse
, seria não causal porque precisa de
no futuro (
).
Passo 3
Aplicando a definição ao sistema dado: a saída em um instante genérico
usa a amostra de entrada no índice
Para que o sistema seja causal, deveríamos ter
para todo
. Vamos verificar essa condição algebraicamente:
Como
é inteiro, isso equivale a
. Ou seja, somente para instantes
a amostra
está no presente ou no passado em relação a
. Para outros instantes
(por exemplo
) tem-se
, ou seja, a saída depende de valores futuros da entrada.
Passo 4
Contraexemplo simples (forma direta e prática — útil para prova): tome
. Então
Aqui a saída em
precisa do valor
, que é um valor de entrada no futuro relativo a
. Como existe pelo menos um instante (
) em que a saída usa uma amostra futura, o sistema não pode ser causal.
Passo 5
Conclusão e interpretação: a condição de causalidade falha para a maioria dos instantes (todos
), logo o sistema não é causal. Intuitivamente: o operador “avança” o índice do argumento para
, o que frequentemente aponta para um tempo maior que
, exigindo valores futuros de
.
Resposta
O sistema
não é causal.