Determine whether each system mathcal{H} given below is causal.
\mathcal{H} x(n)=3 x(3 n+3)

Passo 1

O enunciado dá o sistema discreto-linear (operador) definido por
\mathcal{H}x(n)=3\,x(3n+3)
e pede para determinar se esse sistema é causal. Informações relevantes fornecidas:
  • A variável de tempo é n, assumida inteira ( n\in\mathbb{Z}).
  • A saída no tempo n é dada em função de uma única amostra de entrada, \,x(3n+3)\,, multiplicada por 3.
    A pergunta explícita: “o sistema \mathcal{H} é causal?”

Passo 2

Definição de causalidade (explicada de forma didática):
Um sistema discreto é causal se, para todo instante n_0, a saída em n_0 depende apenas de valores da entrada em instantes \le n_0 (isto é, do presente e do passado), nunca do futuro. Em símbolos: para todo n_0, as amostras de x necessárias para calcular \mathcal{H}x(n_0) devem ter índices k tais que k\le n_0. Se existir algum n_0 tal que a saída em n_0 dependa de algum x(k) com k>n_0, então o sistema é não causal.
Breve exemplo ilustrativo (para fixar): se a saída fosse \mathcal{G}x(n)=x(n-1), ela é causal porque depende apenas de x em n-1\le n. Se fosse \mathcal{F}x(n)=x(n+1), seria não causal porque precisa de x no futuro ( n+1>n).

Passo 3

Aplicando a definição ao sistema dado: a saída em um instante genérico n usa a amostra de entrada no índice
m=3n+3.
Para que o sistema seja causal, deveríamos ter m\le n para todo n. Vamos verificar essa condição algebraicamente:
3n+3 \le n \quad\Longleftrightarrow\quad 2n+3 \le 0 \quad\Longleftrightarrow\quad n \le -\tfrac{3}{2}.
Como n é inteiro, isso equivale a n\le -2. Ou seja, somente para instantes n\le -2 a amostra \,x(3n+3)\, está no presente ou no passado em relação a n. Para outros instantes n (por exemplo n=-1,0,1,2,\dots) tem-se 3n+3>n, ou seja, a saída depende de valores futuros da entrada.

Passo 4

Contraexemplo simples (forma direta e prática — útil para prova): tome n=0. Então
\mathcal{H}x(0)=3\,x(3\cdot0+3)=3\,x(3).
Aqui a saída em n=0 precisa do valor x(3), que é um valor de entrada no futuro relativo a 0. Como existe pelo menos um instante ( n=0) em que a saída usa uma amostra futura, o sistema não pode ser causal.

Passo 5

Conclusão e interpretação: a condição de causalidade falha para a maioria dos instantes (todos n\ge -1), logo o sistema não é causal. Intuitivamente: o operador “avança” o índice do argumento para 3n+3, o que frequentemente aponta para um tempo maior que n, exigindo valores futuros de x.

Resposta

O sistema \mathcal{H} não é causal.

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