Determine whether each system
given below is invertible.
Passo 1
O enunciado dá o sistema discreto
e pede para determinar se esse sistema é invertível.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- O operador
age por deslocamento no tempo: cada saída em é o valor da entrada em . - A pergunta é só uma:
é invertível? Se sim, qual é a inversa (ou mostrar que existe)?
Passo 2
O que significa “invertível” (explicação didática e sem pular etapas).
- Dizemos que um sistema
é invertível se existe outro operador tal que, para toda entrada do domínio,
Isto é, aplicar
e em seguida
devolve exatamente a sequência original.
- Se além disso
para toda no contradomínio (conjunto de saídas), então é inversa à esquerda e à direita — ou seja, é a inversa biunívoca (duas‑faces) de . - Intuição simples: invertibilidade quer dizer que a operação não “perde informação” — existe uma maneira de recuperar
a partir de .
Passo 3
Proposta de candidato a inversa (razão intuitiva).
Como desloca a sequência para a direita em
amostras (ou seja, a saída em
veio da entrada em
), a operação óbvia para reverter isso é deslocar para a esquerda em
amostras. Assim proponho
Como
Aqui a ideia é: se a saída em
equivale a
, ao avaliar
recuperamos
.
Passo 4
Verificação direta da inversa à esquerda:
.
Calcule passo a passo:
Calcule passo a passo:
(nota:
significa a sequência
). Aplicando a definição de
:
Agora avalia-se a sequência em
:
Portanto
para toda sequência
.
Passo 5
Verificação direta da inversa à direita:
.
Calcule:
Calcule:
Agora avaliar em
:
Logo
para toda sequência
. Assim
é inversa à esquerda e à direita — é uma inversa verdadeira.
Passo 6
Conclusões formais e propriedades (explicação sobre injetividade/sobrejetividade).
- Injetividade (um‑para‑um): se
então para todo , daí para todo (basta trocar ). Logo é injetora. - Sobrejetividade (onto): dado qualquer
existe definido por tal que . Logo é sobrejetora.
Injetora + sobrejetora = bijetora, portanto existe inversa única, que é.
Passo 7
Observação prática sobre domínio (cuidado importante para prova/questões práticas).
- As conclusões acima assumem que as sequências estão definidas para todo
(sequências bilaterais). Nesse caso o deslocamento é uma bijeção e a inversa é exatamente o deslocamento oposto. - Se o espaço de sinais for restrito (por exemplo apenas sequências causais definidas para
), então pode haver questões práticas: ainda é injetora, mas a inversa pode requerer valores em índices negativos (por exemplo para recuperar precisa de ), então a inversa pode não mapear de volta dentro do mesmo espaço causal. Nesses casos é importante especificar o espaço de sinais quando se pergunta sobre “invertibilidade” no contexto do curso.
Resposta
Sim. É invertível;
.