Determine whether each system mathcal{H} given below is invertible.
\mathcal{H} x(n)=x(n-3)

Passo 1

O enunciado dá o sistema discreto
\mathcal{H}x(n)=x(n-3)
e pede para determinar se esse sistema é invertível.
Informações relevantes fornecidas:
  • O operador \mathcal{H} age por deslocamento no tempo: cada saída em n é o valor da entrada em n-3.
  • A pergunta é só uma: \mathcal{H} é invertível? Se sim, qual é a inversa (ou mostrar que existe)?

Passo 2

O que significa “invertível” (explicação didática e sem pular etapas).
  • Dizemos que um sistema \mathcal{H} é invertível se existe outro operador \mathcal{G} tal que, para toda entrada x do domínio,
\mathcal{G}\big(\mathcal{H}x\big)=x.
Isto é, aplicar \mathcal{H} e em seguida \mathcal{G} devolve exatamente a sequência original.
  • Se além disso \mathcal{H}\big(\mathcal{G}y\big)=y para toda y no contradomínio (conjunto de saídas), então \mathcal{G} é inversa à esquerda e à direita — ou seja, é a inversa biunívoca (duas‑faces) de \mathcal{H}.
  • Intuição simples: invertibilidade quer dizer que a operação não “perde informação” — existe uma maneira de recuperar x a partir de \mathcal{H}x.

Passo 3

Proposta de candidato a inversa (razão intuitiva).
Como \mathcal{H} desloca a sequência para a direita em 3 amostras (ou seja, a saída em n veio da entrada em n-3), a operação óbvia para reverter isso é deslocar para a esquerda em 3 amostras. Assim proponho
\mathcal{H}^{-1}y(n)=y(n+3).
Aqui a ideia é: se a saída em n equivale a x(n-3), ao avaliar y(n+3) recuperamos x(n).

Passo 4

Verificação direta da inversa à esquerda: \mathcal{H}^{-1}(\mathcal{H}x)=x.
Calcule passo a passo:
\big(\mathcal{H}^{-1}(\mathcal{H}x)\big)(n) = \mathcal{H}^{-1}\big(x(\cdot-3)\big)(n)
(nota: x(\cdot-3) significa a sequência k\mapsto x(k-3)). Aplicando a definição de \mathcal{H}^{-1}:
\big(\mathcal{H}^{-1}(\mathcal{H}x)\big)(n) = \big(x(\cdot-3)\big)(n+3).
Agora avalia-se a sequência em n+3:
\big(x(\cdot-3)\big)(n+3)=x\big((n+3)-3\big)=x(n).
Portanto \mathcal{H}^{-1}(\mathcal{H}x)=x para toda sequência x.

Passo 5

Verificação direta da inversa à direita: \mathcal{H}(\mathcal{H}^{-1}y)=y.
Calcule:
\big(\mathcal{H}(\mathcal{H}^{-1}y)\big)(n) = \big(\mathcal{H}(y(\cdot+3))\big)(n) = (y(\cdot+3))(n-3).
Agora avaliar em n-3:
(y(\cdot+3))(n-3)=y\big((n-3)+3\big)=y(n).
Logo \mathcal{H}(\mathcal{H}^{-1}y)=y para toda sequência y. Assim \mathcal{H}^{-1} é inversa à esquerda e à direita — é uma inversa verdadeira.

Passo 6

Conclusões formais e propriedades (explicação sobre injetividade/sobrejetividade).
  • Injetividade (um‑para‑um): se \mathcal{H}x_1=\mathcal{H}x_2 então x_1(n-3)=x_2(n-3) para todo n, daí x_1(k)=x_2(k) para todo k (basta trocar k=n-3). Logo \mathcal{H} é injetora.
  • Sobrejetividade (onto): dado qualquer y existe x definido por x(n)=y(n+3) tal que \mathcal{H}x=y. Logo \mathcal{H} é sobrejetora.
    Injetora + sobrejetora = bijetora, portanto existe inversa única, que é \mathcal{H}^{-1}y(n)=y(n+3).

Passo 7

Observação prática sobre domínio (cuidado importante para prova/questões práticas).
  • As conclusões acima assumem que as sequências estão definidas para todo n\in\mathbb{Z} (sequências bilaterais). Nesse caso o deslocamento é uma bijeção e a inversa é exatamente o deslocamento oposto.
  • Se o espaço de sinais for restrito (por exemplo apenas sequências causais definidas para n\ge 0), então pode haver questões práticas: \mathcal{H} ainda é injetora, mas a inversa \mathcal{H}^{-1} pode requerer valores em índices negativos (por exemplo para recuperar x(0) precisa de y(-3)), então a inversa pode não mapear de volta dentro do mesmo espaço causal. Nesses casos é importante especificar o espaço de sinais quando se pergunta sobre “invertibilidade” no contexto do curso.

Resposta

Sim. É invertível; \mathcal{H}^{-1}y(n)=y(n+3).

Exercícios relacionados