Determine whether each system
given below is invertible.
Passo 1
O enunciado dá um sistema
que age sobre sequências
produzindo a saída
A pergunta é: esse sistema é invertível? Ou seja, existe um operador
que, para qualquer saída
, permite recuperar unicamente o
original?
Informações dadas:
- Para cada inteiro
a saída em é o valor da entrada em , isto é, amostras da entrada em índices ímpares .
O que se pede:
- Determinar se existe um inverso único
tal que para todo da classe de sinais considerada.
Passo 2
Definição e estratégia clara (sem resolver ainda): um sistema é invertível se for injetor (one-to-one) — isto é, se entradas distintas nunca produzirem a mesma saída. Uma forma prática de mostrar que um sistema NÃO é invertível é encontrar dois sinais
tais que
. Se isso existe, não há forma única de recuperar
a partir de
.
Passo 3
Interpretar o operador dadas as fórmulas: a relação
diz que a saída fornece exatamente os valores de
nos índices ímpares. Mais formalmente, para cada inteiro
,
Inversamente, se soubéssemos
para todo
, então sabemos
apenas para
ímpar, porque para
ímpar podemos escrever
e então
. Porém não há nenhuma informação sobre
quando
é par:
não contém esses valores.
Passo 4
Construir um contraexemplo explícito para mostrar não-injetividade (e portanto não-invertibilidade).
Considere as duas sequências seguintes:
Claramente
(por exemplo
enquanto
). Calcule as saídas:
Mas
é ímpar para todo inteiro
, e por definição
é zero em índices ímpares; então
para todo
. Logo
Portanto
embora
. Isso mostra que
não é injetora.
Passo 5
Interpretação: como a saída apenas contém as amostras de
nos índices ímpares, os valores de
em índices pares ficam totalmente perdidos pela operação
. Há infindáveis sequências diferentes que coincidem em todos os índices ímpares (portanto têm a mesma saída) mas diferem em índices pares. Logo não existe um operador
que recupere unicamente
a partir de
.
Ainda é útil observar: se o domínio fosse restrito a sequências que tenham valores pré-fixados nos índices pares (por exemplo todas as sequências com
para todo
), então
seria invertível nesse subconjunto e a inversa seria dada por
e para
par a sequência é conhecida a priori (por hipótese de restrição). Mas para o domínio usual “todas as sequências” não há inverso único.
Resposta
Não, o sistema não é invertível.