Determine whether each system mathcal{H} given below is invertible.
\mathcal{H} x(n)=x(2 n-1)

Passo 1

O enunciado dá um sistema \mathcal{H} que age sobre sequências x(n) produzindo a saída
\mathcal{H}x(n)=x(2n-1).
A pergunta é: esse sistema é invertível? Ou seja, existe um operador \mathcal{H}^{-1} que, para qualquer saída y(n)=\mathcal{H}x(n), permite recuperar unicamente o x(n) original?
Informações dadas:
  • Para cada inteiro n a saída em n é o valor da entrada em k=2n-1, isto é, amostras da entrada em índices ímpares k\in\{\dots,-3,-1,1,3,\dots\}.
O que se pede:
  • Determinar se existe um inverso único \mathcal{H}^{-1} tal que \mathcal{H}^{-1}[\mathcal{H}x]=x para todo x(n) da classe de sinais considerada.

Passo 2

Definição e estratégia clara (sem resolver ainda): um sistema é invertível se for injetor (one-to-one) — isto é, se entradas distintas nunca produzirem a mesma saída. Uma forma prática de mostrar que um sistema NÃO é invertível é encontrar dois sinais x_1\neq x_2 tais que \mathcal{H}x_1=\mathcal{H}x_2. Se isso existe, não há forma única de recuperar x a partir de y.

Passo 3

Interpretar o operador dadas as fórmulas: a relação \mathcal{H}x(n)=x(2n-1) diz que a saída fornece exatamente os valores de x nos índices ímpares. Mais formalmente, para cada inteiro n,
y(n)=\mathcal{H}x(n)=x(2n-1).
Inversamente, se soubéssemos y(n) para todo n, então sabemos x(k) apenas para k ímpar, porque para k ímpar podemos escrever k=2n-1 e então x(k)=y(n). Porém não há nenhuma informação sobre x(k) quando k é par: y não contém esses valores.

Passo 4

Construir um contraexemplo explícito para mostrar não-injetividade (e portanto não-invertibilidade).
Considere as duas sequências seguintes:
  • x_1(n)=0\) para todo inteiro \(n\). - \(x_2(n)=\begin{cases}0,& n\\ \text{ímpar},\\\\ 1,& n\\ \text{par}.\end{cases}
Claramente x_1\neq x_2 (por exemplo x_2(0)=1 enquanto x_1(0)=0). Calcule as saídas:
\mathcal{H}x_1(n)=x_1(2n-1)=0\quad\text{para todo }n,
\mathcal{H}x_2(n)=x_2(2n-1).
Mas 2n-1 é ímpar para todo inteiro n, e por definição x_2 é zero em índices ímpares; então x_2(2n-1)=0 para todo n. Logo
\mathcal{H}x_2(n)=0\quad\text{para todo }n.
Portanto \mathcal{H}x_1=\mathcal{H}x_2 embora x_1\neq x_2. Isso mostra que \mathcal{H} não é injetora.

Passo 5

Interpretação: como a saída apenas contém as amostras de x nos índices ímpares, os valores de x em índices pares ficam totalmente perdidos pela operação \mathcal{H}. Há infindáveis sequências diferentes que coincidem em todos os índices ímpares (portanto têm a mesma saída) mas diferem em índices pares. Logo não existe um operador \mathcal{H}^{-1} que recupere unicamente x a partir de \mathcal{H}x.
Ainda é útil observar: se o domínio fosse restrito a sequências que tenham valores pré-fixados nos índices pares (por exemplo todas as sequências com x(2k)=0 para todo k), então \mathcal{H} seria invertível nesse subconjunto e a inversa seria dada por
\text{para }k\\ \text{ímpar:}\quad x(k)=y\!\bigl(\tfrac{k+1}{2}\bigr),í
e para k par a sequência é conhecida a priori (por hipótese de restrição). Mas para o domínio usual “todas as sequências” não há inverso único.

Resposta

Não, o sistema não é invertível.

Exercícios relacionados