Determine whether each system mathcal{H} given below is invertible.
\mathcal{H} x(n)=x(n)-x(n-1)

Passo 1

O enunciado dá o operador (sistema) linear discreto
\mathcal{H}x(n)=x(n)-x(n-1).
A pergunta é: determinar se \mathcal{H} é invertível.
Informações relevantes fornecidas:
  • A definição do sistema é explícita para todo n.
  • Não foi especificado o espaço de sinais (por exemplo, todas as sequências bilaterais, sequências causais, ou com alguma condição no passado).
  • O que é pedido: afirmar se existe uma transformação inversa única \mathcal{H}^{-1} tal que, para todo sinal de saída y(n) obtido por y=\mathcal{H}x, exista exatamente um x tal que \mathcal{H}x=y.

Passo 2

Vamos recordar o que significa “invertível” de forma prática e simples.
Definição prática de invertibilidade (explicada devagar):
  • Um sistema \mathcal{H} é invertível se, para todo sinal de saída y(n) que aparece como y=\mathcal{H}x, existe UM E SOMENTE UM sinal de entrada x(n) que gera esse y.
  • Em termos algébricos, isso significa que o núcleo (kernel) do operador contém só o vetor zero: se \mathcal{H}x=0 então necessariamente x=0. Porque se existir um x\neq 0 tal que \mathcal{H}x=0, então x e x+z (para qualquer solução z do homogêneo) gerariam a mesma saída, quebrando a unicidade.
Vou usar essa definição para testar se \mathcal{H} é injetivo (um-para-um). Se não for injetivo, não é invertível.

Passo 3

Resolver o caso homogêneo \mathcal{H}x(n)=0 para ver o núcleo.
Escrevemos a equação homogênea:
\mathcal{H}x(n)=0 \quad\Longrightarrow\quad x(n)-x(n-1)=0 \quad\text{para todo }n.
Essa recorrência diz que x(n)=x(n-1) para todo n. Iterando essa igualdade para frente e para trás, conclui-se que x(n) é constante em n. Ou seja, toda sequência constante é solução da homogênea. Em notação:
x(n)=C\quad\text{com }C\in\mathbb{R}\\ (\text{ou }\mathbb{C}),\\ \forall n,
satisfaz \mathcal{H}x(n)=0.
Portanto o núcleo não é só o zero: contém todas as sequências constantes (por exemplo x(n)=1 \mathcal{H}x(n)=0). Logo \mathcal{H} não é injetivo.

Passo 4

Concluir sobre invertibilidade a partir do núcleo.
Como existe x\neq 0 tal que \mathcal{H}x=0, o operador não é um-para-um. Logo não existe uma inversa única definida em todo o espaço de entrada considerado (por exemplo, no espaço de todas as sequências bilaterais). Em termos práticos: duas entradas que diferem por uma constante produzem a mesma saída. Exemplo explícito e simples:
  • Tome x_1(n)=0 para todo n. Então \mathcal{H}x_1(n)=0.
  • Tome x_2(n)=1 para todo n. Então \mathcal{H}x_2(n)=1-1=0 também.
    Assim, a mesma saída y(n)=0 vem de duas entradas distintas, portanto não há inversa única.

Passo 5

Observação útil: quando a gente restringe o domínio, pode recuperar uma inversa.
Embora \mathcal{H} não seja invertível no espaço de todas as sequências (porque constantes somadas são ambiguidade), se impuser uma condição adicional que elimine essa ambiguidade, então existe uma inversa única sobre esse subconjunto. Dois exemplos comuns:
  1. Impondo um valor inicial conhecido. Se fixar um índice n_0 e exigir x(n_0-1)=x_0 conhecido, então para qualquer y(n) a solução x da equação
y(n)=x(n)-x(n-1)
é única e pode ser construída por soma telescópica:
x(n)=x(n_0-1)+\sum_{k=n_0}^{n} y(k).
Com essa condição inicial fixa, \mathcal{H} é invertível no subconjunto de sequências com esse valor inicial.
  1. Condição de “zero no passado infinito”. Se restringir ao conjunto de sequências tais que \lim_{m\to-\infty}x(m)=0 (ou, em sinais causais, exigir x(m)=0 para m<0), então a inversa causal pode ser escrita como uma soma acumulada:
  • Para \lim_{m\to-\infty}x(m)=0:
x(n)=\sum_{k=-\infty}^{n} y(k).
  • Para sinais causais (isto é, x(m)=0 para m<0) assume-se x(-1)=0 e então
x(n)=\sum_{k=0}^{n} y(k)
para n\ge 0.
Essas fórmulas vêm do somar a relação y(k)=x(k)-x(k-1) entre limites apropriados e usar o telescopamento.

Passo 6

Resumo didático e incentivo: o operador diferença \mathcal{H}x(n)=x(n)-x(n-1) “apaga” componentes constantes das sequências. Isso gera ambiguidade (não unicidade da entrada a partir da saída) a menos que se fixe uma condição inicial ou uma condição no passado. É um típico caso em que o operador não é globalmente invertível, mas torna-se invertível se o domínio for bem restringido.

Resposta

\mathcal{H} não é invertível no espaço de todas as sequências (não é injetivo), porque todo sinal constante está no núcleo.
Se o domínio for restringido, por exemplo impondo x(n_0-1) conhecido ou \lim_{m\to-\infty}x(m)=0 (ou causalidade com x(m)=0 para m<0), então existe inversa única dada pelas somas telescópicas acima.

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