Determine whether each system mathcal{H} given below is invertible. \mathcal{H} x(n)=\operatorname{Even}\{x\}(n)
Passo 1
O enunciado dá um sistema \mathcal{H} definido por
\mathcal{H}x(n)=\operatorname{Even}\{x\}(n).
O que se pede: determinar se \mathcal{H} é invertível (ou seja, se existe uma transformação \mathcal{H}^{-1} que recupera x a partir de \mathcal{H}x).
Informações relevantes dadas:
A saída \mathcal{H}x(n) é a parte par de x.
Não há outras restrições explícitas no enunciado (por exemplo, domínio/contradomínio), então considerar o caso usual em que o domínio e o contradomínio são o conjunto de todas as sequências (sinais) discretas.
Passo 2
Definição e fórmulas úteis (aula rápida sobre decomposição em parte par e ímpar).
Qualquer sequência x(n) pode ser escrita como soma da sua parte par x_e(n) e da sua parte ímpar x_o(n):
x(n)=x_e(n)+x_o(n).
As fórmulas que expressam essas partes são obtidas resolvendo o sistema para x_e e x_o. Somando e subtraindo x(n) e x(-n) obtém-se:
Explicação curta: a parte par satisfaz x_e(-n)=x_e(n) e a ímpar satisfaz x_o(-n)=-x_o(n); as fórmulas acima são exatamente as únicas que garantem essas propriedades e que somadas dão x(n).
Passo 3
Expressar \mathcal{H} de forma explícita usando a fórmula da parte par.
Pelo enunciado \mathcal{H}x(n)=\operatorname{Even}\{x\}(n)=x_e(n). Usando a fórmula da parte par:
\mathcal{H}x(n)=\frac{x(n)+x(-n)}{2}.
Observação: com essa expressão fica claro que \mathcal{H} é um operador linear (soma e fator constante passam para fora).
Passo 4
Testar injetividade (um passo-chave para verificar invertibilidade).
Definição prática: [\mathcal{H}) é invertível somente se for injetiva (um-para-um) e, dependendo da definição de contradomínio, também sobrejetiva. Uma maneira simples de checar injetividade é verificar o núcleo (kernel): o conjunto de x tais que \mathcal{H}x=0.
Calcule \mathcal{H} aplicado a uma sequência ímpar o(n) (ou seja, o(-n)=-o(n) para todo n):
\mathcal{H}o(n)=\frac{o(n)+o(-n)}{2}=\frac{o(n)-o(n)}{2}=0\quad\text{para todo }n.
Assim qualquer sequência ímpar não-nula pertence ao kernel de \mathcal{H}. Conclusão imediata: o kernel é não-trivial (contém sequências não-nulas), portanto \mathcal{H} não é injetiva.
Exemplo explícito e simples para a prova: escolha uma sequência ímpar não-nula, por exemplo
Então o\neq 0\] mas \(\mathcal{H}o(n)=0 para todo n. Logo existem x\neq x' tais que \mathcal{H}x=\mathcal{H}x' (por exemplo x'=x+o), o que mostra não-injetividade.
Passo 5
Consequência sobre invertibilidade e sobrejetividade.
Como \mathcal{H} não é injetiva, não existe inversa que recupere de forma única qualquer x a partir de \mathcal{H}x. Portanto, considerando domínio e contradomínio como o espaço de todas as sequências, \mathcal{H} não é invertível.
Sobrejetividade parcial: para qualquer sequência par y(n) existe pelo menos uma x tal que \mathcal{H}x=y (por exemplo, basta escolher x=y). Assim \mathcal{H} é sobrejetiva no subespaço das sequências pares, mas não sobrejetiva para o espaço total de todas as sequências (pois nenhuma sequência ímpar está na imagem).
Passo 6
Observação prática (o que fazer na prova): inversa restrita e não-uniquidade de preimagens.
Se o domínio for restringido ao subespaço das sequências pares, então para toda sequência par x tem-se \mathcal{H}x=x. Nessa restrição \mathcal{H} age como a identidade, logo é invertível e \mathcal{H}^{-1} é a própria identidade nessa subespaço.
Se o domínio for o espaço todo, então para uma saída par y existem infinitas preimagens: todas as sequências da forma x=y+o com o ímpar. Portanto não há inversa única.
Resposta
Não. \mathcal{H} não é invertível no espaço de todas as sequências (não é injetiva), pois qualquer sequência ímpar o(n) satisfaz \mathcal{H}o(n)=0. Se restringir o domínio ao subespaço das sequências pares, então \mathcal{H} é invertível e a inversa é a identidade.