Determine
que satisfaça as condições dadas.
e
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e uma condição inicial. Escrevendo claramente o que foi dado e o que é pedido:
- Dado:
. - Condição inicial:
. - Pedido: determinar
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): quando a equação está na forma
, podemos obter
integrando ambos os lados em relação a
. Isso funciona porque a derivada e a integral são operações inversas (Teorema Fundamental do Cálculo). Escrevendo isso:
A integral do lado esquerdo recoloca a função
(até uma constante). Em palavras: integrar
em
nos dá
mais uma constante de integração.
Passo 3
Calcular as integrais (passo a passo e por que): sabemos que a derivada de
é
, portanto uma primitiva (antiderivada) de
é ela mesma. Assim,
onde
é a constante de integração (um número arbitrário que aparece sempre que fazemos uma primitiva). Pelo passo anterior temos então
Explanação curta sobre
: essa constante representa a família de todas as curvas cujas derivadas são
. A condição inicial servirá para fixar
.
Passo 4
Aplicar a condição inicial para achar
: usar
e substituir
na expressão encontrada:
Como
, temos
Passo 5
Escrever a solução particular e verificar (checagem rápida): com
a solução é
Verificação: derivando
obtemos
, que coincide com a equação dada, e
, que satisfaz a condição inicial. Está tudo consistente.