Determine y=y(x) que satisfaça as condições dadas.
\frac{d y}{d x}=e^{x} e y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e uma condição inicial. Escrevendo claramente o que foi dado e o que é pedido:
  • Dado: \dfrac{dy}{dx}=e^{x}.
  • Condição inicial: y(0)=1.
  • Pedido: determinar y=y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): quando a equação está na forma \dfrac{dy}{dx}=f(x), podemos obter y(x) integrando ambos os lados em relação a x. Isso funciona porque a derivada e a integral são operações inversas (Teorema Fundamental do Cálculo). Escrevendo isso:
\int \frac{dy}{dx}\,dx = \int e^{x}\,dx.
A integral do lado esquerdo recoloca a função y(x) (até uma constante). Em palavras: integrar \dfrac{dy}{dx} em x nos dá y(x) mais uma constante de integração.

Passo 3

Calcular as integrais (passo a passo e por que): sabemos que a derivada de e^{x} é e^{x}, portanto uma primitiva (antiderivada) de e^{x} é ela mesma. Assim,
\int e^{x}\,dx = e^{x} + C,
onde C é a constante de integração (um número arbitrário que aparece sempre que fazemos uma primitiva). Pelo passo anterior temos então
y(x)=e^{x}+C.
Explanação curta sobre C: essa constante representa a família de todas as curvas cujas derivadas são e^x. A condição inicial servirá para fixar C.

Passo 4

Aplicar a condição inicial para achar C: usar y(0)=1 e substituir x=0 na expressão encontrada:
y(0)=e^{0}+C = 1 + C.
Como y(0)=1, temos
1 = 1 + C \quad\Rightarrow\quad C=0.

Passo 5

Escrever a solução particular e verificar (checagem rápida): com C=0 a solução é
y(x)=e^{x}.
Verificação: derivando y(x) obtemos \dfrac{dy}{dx}=e^{x}, que coincide com a equação dada, e y(0)=e^{0}=1, que satisfaz a condição inicial. Está tudo consistente.

Resposta

y(x)=e^{x}

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