Qual deve ser o diâmetro do tubo de concreto com entrada viva e 15 m de comprimento, para que a vazão seja igual à que passa pelo tubo de ferro fundido de 30 cm de diâmetro? Os tubos estão na horizontal e descarregam livremente na atmosfera. Admitir TUBOS CURTOS.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema fala sobre calcular o diâmetro de um tubo de concreto que tem 15 metros de comprimento e entrada livre, de modo que a vazão (quantidade de água que passa) seja igual à que passa por um tubo de ferro fundido com diâmetro de 30 cm. Ambos os tubos estão na horizontal e descarregam livremente na atmosfera. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Hidráulica de tubos, especificamente a equação de vazão que relaciona o diâmetro do tubo com a vazão e as perdas de carga.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a vazão $ Q $ em um tubo depende do diâmetro $ D $, do comprimento $ L $, da inclinação $ S $ (que é zero, já que os tubos estão na horizontal), e das perdas de carga devido ao atrito. A equação que relaciona tudo isso é a Equação de Manning ou a Equação de Darcy-Weisbach. Para simplificação, vamos usar a Equação de Darcy-Weisbach, que é mais geral.
A Equação de Darcy-Weisbach é:
onde:
- $ Q $ é a vazão,
- $ D $ é o diâmetro do tubo,
- $ g $ é a aceleração da gravidade ($ 9,81 , m/s^2 $),
- $ \Delta h $ é a diferença de altura (como os tubos descarregam na atmosfera, essa diferença pode ser considerada zero),
- $ f $ é o fator de atrito,
- $ L $ é o comprimento do tubo.
Como os tubos estão na horizontal e descarregam na atmosfera, podemos simplificar a equação relacionando as perdas de carga nos dois tubos para que as vazões sejam iguais.
Passo 3
Para que a vazão seja igual nos dois tubos, as perdas de carga devem ser iguais. As perdas de carga $ h_f $ podem ser calculadas pela fórmula:
onde $ v $ é a velocidade do fluxo no tubo.
Como as vazões são iguais, podemos relacionar as velocidades e os diâmetros dos tubos.
A vazão $ Q $ também é dada por:
Então, podemos expressar a velocidade $ v $ em termos da vazão e do diâmetro:
Passo 4
Igualando as perdas de carga dos dois tubos:
Como $ Q_1 = Q_2 = Q $, então $ v_1 = v_2 = v $, e supondo que os fatores de atrito $ f $ sejam iguais para materiais semelhantes, podemos simplificar a equação para:
Passo 5
Isolando $ D_2 $:
Agora, substituímos os valores conhecidos:
- $ D_1 = 0,30 , m $ (30 cm convertidos para metros),
- $ L_1 = 30 , m $ (comprimento do tubo de ferro fundido),
- $ L_2 = 15 , m $ (comprimento do tubo de concreto).
Então:
Resposta
O diâmetro do tubo de concreto deve ser de 15 cm para que a vazão seja igual à do tubo de ferro fundido.