Qual deve ser o diâmetro do tubo de concreto com entrada viva e 15 m de comprimento, para que a vazão seja igual à que passa pelo tubo de ferro fundido de 30 cm de diâmetro? Os tubos estão na horizontal e descarregam livremente na atmosfera. Admitir TUBOS CURTOS.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema fala sobre calcular o diâmetro de um tubo de concreto que tem 15 metros de comprimento e entrada livre, de modo que a vazão (quantidade de água que passa) seja igual à que passa por um tubo de ferro fundido com diâmetro de 30 cm. Ambos os tubos estão na horizontal e descarregam livremente na atmosfera. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Hidráulica de tubos, especificamente a equação de vazão que relaciona o diâmetro do tubo com a vazão e as perdas de carga.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a vazão $ Q $ em um tubo depende do diâmetro $ D $, do comprimento $ L $, da inclinação $ S $ (que é zero, já que os tubos estão na horizontal), e das perdas de carga devido ao atrito. A equação que relaciona tudo isso é a Equação de Manning ou a Equação de Darcy-Weisbach. Para simplificação, vamos usar a Equação de Darcy-Weisbach, que é mais geral.
A Equação de Darcy-Weisbach é:
Q
onde:
  • $ Q $ é a vazão,
  • $ D $ é o diâmetro do tubo,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ($ 9,81 , m/s^2 $),
  • $ \Delta h $ é a diferença de altura (como os tubos descarregam na atmosfera, essa diferença pode ser considerada zero),
  • $ f $ é o fator de atrito,
  • $ L $ é o comprimento do tubo.
Como os tubos estão na horizontal e descarregam na atmosfera, podemos simplificar a equação relacionando as perdas de carga nos dois tubos para que as vazões sejam iguais.

Passo 3

Para que a vazão seja igual nos dois tubos, as perdas de carga devem ser iguais. As perdas de carga $ h_f $ podem ser calculadas pela fórmula:
hf
onde $ v $ é a velocidade do fluxo no tubo.
Como as vazões são iguais, podemos relacionar as velocidades e os diâmetros dos tubos.
A vazão $ Q $ também é dada por:
hf = f cdot LD cdot v^22g
Então, podemos expressar a velocidade $ v $ em termos da vazão e do diâmetro:
v

Passo 4

Igualando as perdas de carga dos dois tubos:
f1 cdot L1D1 cdot v1^22g = f2 cdot L2D2 cdot v2^22g
Como $ Q_1 = Q_2 = Q $, então $ v_1 = v_2 = v $, e supondo que os fatores de atrito $ f $ sejam iguais para materiais semelhantes, podemos simplificar a equação para:
Q1 = Q2 = Q

Passo 5

Isolando $ D_2 $:
D2
Agora, substituímos os valores conhecidos:
  • $ D_1 = 0,30 , m $ (30 cm convertidos para metros),
  • $ L_1 = 30 , m $ (comprimento do tubo de ferro fundido),
  • $ L_2 = 15 , m $ (comprimento do tubo de concreto).
Então:
D2 = D1 cdot L2L1

Resposta

O diâmetro do tubo de concreto deve ser de 15 cm para que a vazão seja igual à do tubo de ferro fundido.

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