1. Qual deve ser o valor de m para que os vetores \vec{u}=(2, m, 0), \vec{v}=(1,1,2) e \vec{w}=(1,3,1) sejam paralelos a um mesmo plano? R : m=-10

Passo 1

O enunciado pede o valor de m para que os vetores \vec{u}=(2,m,0), \vec{v}=(1,1,2) e \vec{w}=(1,3,1) sejam paralelos a um mesmo plano. Isso equivale a dizer que eles são coplanares, ou seja, o produto misto \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) deve ser zero.

Passo 2

Vamos calcular o produto vetorial \vec{v}\times\vec{w}. Por definição,
\vec{v}\times\vec{w} = \bigl(v_2w_3 - v_3w_2,\;v_3w_1 - v_1w_3,\;v_1w_2 - v_2w_1\bigr)
onde \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) e \vec{w}=(w_1,w_2,w_3). Substituindo os valores,
\vec{v}\times\vec{w} = (1\cdot1 - 2\cdot3,\;2\cdot1 - 1\cdot1,\;1\cdot3 - 1\cdot1) = (-5,\,1,\,2).

Passo 3

Agora o produto misto
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = (2,m,0)\cdot(-5,1,2) = 2\cdot(-5) + m\cdot1 + 0\cdot2 = -10 + m.

Passo 4

Para que os vetores sejam coplanares, esse produto misto deve ser zero:
-10 + m = 0
Logo,
m = 10.

Resposta

m = 10

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