1. Calcule o volume do Tetraedro de vértices A=(1,1,3), B=(0,1,1), C=(3,-2,1), D=(-1,1,5). Qual a altura deste tetraedro em relação a base ABC ? R: V(A B C D)=1 e h=2 / 3

Passo 1

Vamos considerar o tetraedro de vértices
A=(1,1,3),\quad B=(0,1,1),\quad C=(3,-2,1),\quad D=(-1,1,5).
O conteúdo aqui é geometria no espaço: para achar o volume usamos a fórmula
V=\frac{1}{6}\bigl|\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})\bigr|,
e para a altura relativa à base ABC usamos a relação
V=\frac{1}{3}\,(\text{área de }ABC)\times h \quad\Longrightarrow\quad h=\frac{3V}{\text{área}(ABC)}.áá

Passo 2

Calculamos primeiro os vetores de aresta a partir de A:
\overrightarrow{AB} = B - A = (-1,\,0,\,-2), \quad \overrightarrow{AC} = C - A = (2,\,-3,\,-2), \quad \overrightarrow{AD} = D - A = (-2,\,0,\,2).

Passo 3

Agora o determinante scalar
\Delta = \det\bigl(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\bigr).
Fazendo a expansão em primeira linha,
\Delta = -1\det\!\begin{pmatrix}-3 & -2 \\[3pt]0 & 2\end{pmatrix} - 0\cdot(\cdots) +(-2)\det\!\begin{pmatrix}2 & -3 \\[3pt]-2 & 0\end{pmatrix} = -1\bigl((-3)\cdot2 -(-2)\cdot0\bigr) -2\bigl(2\cdot0 -(-3)(-2)\bigr) =6+12=18.
Logo \bigl|\Delta\bigr|=18.]

Passo 4

O volume do tetraedro é
V = \frac{1}{6}\,\bigl|\Delta\bigr| = \frac{1}{6}\times 18 = 3.

Passo 5

Para a altura relativa à base ABC precisamos da área do triângulo ABC.
Calculamos o módulo do produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = (-1,0,-2)\times(2,-3,-2) = (-6,\,-2,\,3),
\bigl\lVert\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr\rVert = \sqrt{(-6)^2+(-2)^2+3^2} = \sqrt{36+4+9} =7.
Então a área de ABC é
\text{área}(ABC) = \frac{1}{2}\,\bigl\lVert\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr\rVert = \frac{7}{2}.á

Passo 6

Finalmente, a altura h em relação à base ABC vem de
V = \frac{1}{3}\,\text{área}(ABC)\times h \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{3V}{\text{área}(ABC)} = \frac{3\cdot 3}{\tfrac{7}{2}} = \frac{9}{1}\cdot\frac{2}{7} = \frac{18}{7}.áá

Resposta

Volume V=3 e altura relativa à base ABC é h=\tfrac{18}{7}.

Exercícios relacionados