Dez candidatos a um emprego foram submetidos a um teste. A tabela a seguir, mostra a nota obtida por cada candidato e seu respectivo tempo de experiência na área.
Candidato 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nota no teste (X) 2 6 7 6 5 9 8 4 3 10
Anos de experiência(Y) 3 6 5 7 6 10 9 3 2 9
a) Construa um diagrama de dispersão para estes dados.
b) Qual é o coeficiente de correlaçõo entre as variáveis Nota no teste (X) e Anos de experiência (Y)? Interprete o resultado.
c) Se for ajustada uma reta aos valores de Xe Y , qual o valor do coeficiente angular b ?
d) Represente graficamente a reta.

Passo 1

O enunciado dá as notas no teste X e os anos de experiência Y para 10 candidatos e pede quatro coisas:
  • (a) construir um diagrama de dispersão desses pontos;
  • (b) calcular o coeficiente de correlação entre X e Y e interpretar o resultado;
  • (c) ajustar uma reta aos valores de X e Y e dar o coeficiente angular b;
  • (d) representar graficamente essa reta.
As informações fornecidas (peguei da tabela do enunciado) são os pares (X,Y):
(2,3),\;(6,6),\;(7,5),\;(6,7),\;(5,6),\;(9,10),\;(8,9),\;(4,3),\;(3,2),\;(10,9).

Passo 2

Vamos começar calculando as médias de X e de Y. Lembra que a média é a soma dos valores dividida pelo número de observações; isso centraliza os dados e facilita os cálculos de variância e covariância.
Soma de X:
\sum X = 2+6+7+6+5+9+8+4+3+10 = 60,
logo a média de X é
\bar{X}=\frac{\sum X}{n}=\frac{60}{10}=6.
Soma de Y:
\sum Y = 3+6+5+7+6+10+9+3+2+9 = 60,
logo a média de Y é
\bar{Y}=\frac{\sum Y}{n}=\frac{60}{10}=6.
Observação simpática: as duas médias coincidem: \bar{X}=\bar{Y}=6. Isso deixa os cálculos mais simples.

Passo 3

Para calcular correlação e regressão precisamos das somas dos quadrados e da soma dos produtos das diferenças (desvios em relação às médias). Vou montar mentalmente uma tabela de desvios (X_i-\bar{X}), (Y_i-\bar{Y}), seus quadrados e o produto. Eu explico cada linha e depois somo tudo.
Faço para cada par (X_i,Y_i):
  1. (2,3): X-\bar{X}=-4,\;Y-\bar{Y}=-3. Então (X-\bar{X})^2=16,\;(Y-\bar{Y})^2=9,\;(X-\bar{X})(Y-\bar{Y})=12.
  2. (6,6): 0,0 → quadrados 0,0, produto 0.
  3. (7,5): 1,-1 → quadrados 1,1, produto -1.
  4. (6,7): 0,1 → quadrados 0,1, produto 0.
  5. (5,6): -1,0 → quadrados 1,0, produto 0.
  6. (9,10): 3,4 → quadrados 9,16, produto 12.
  7. (8,9): 2,3 → quadrados 4,9, produto 6.
  8. (4,3): -2,-3 → quadrados 4,9, produto 6.
  9. (3,2): -3,-4 → quadrados 9,16, produto 12.
  10. (10,9): 4,3 → quadrados 16,9, produto 12.
Agora somo cada coluna (essas somas são importantes e usadas nas fórmulas):
\sum (X_i-\bar{X})^2 = 16+0+1+0+1+9+4+4+9+16 = 60.
\sum (Y_i-\bar{Y})^2 = 9+0+1+1+0+16+9+9+16+9 = 70.
\sum (X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y}) = 12+0-1+0+0+12+6+6+12+12 = 59.
Denominamos essas somas por convenção:
S_{xx}=\sum (X_i-\bar{X})^2 = 60,
S_{yy}=\sum (Y_i-\bar{Y})^2 = 70,
S_{xy}=\sum (X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y}) = 59.

Passo 4

Agora calculamos o coeficiente de correlação de Pearson r. Vou te explicar a fórmula e o porquê: r mede a intensidade e direção da associação linear entre X e Y. A fórmula (para a amostra) é:
r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}}.
Aqui S_{xy} é a soma dos produtos das diferenças, S_{xx} e S_{yy} são somas dos quadrados das diferenças (variâncias não divididas por n). O denominador normaliza para que r fique entre -1 e 1.
Substituindo os valores:
r=\frac{59}{\sqrt{60\cdot 70}}=\frac{59}{\sqrt{4200}}.
Calculo \sqrt{4200}=10\sqrt{42}\approx 64,8074. Então
r\approx\frac{59}{64,8074}\approx 0,911.
Interpretação intuitiva e direta: r\approx 0,911 indica uma correlação linear positiva forte entre Nota no teste X e Anos de experiência Y. Ou seja, candidatos com notas maiores tendem a ter mais anos de experiência; a relação é bastante próxima de linearidade.

Passo 5

Agora vamos ajustar a reta de regressão linear de Y em função de X. A forma padrão é:
\hat{Y}=a + bX,
onde b é o coeficiente angular (inclinação) e a é a interceptação (ordenada na origem). As fórmulas das estimativas pelos mínimos quadrados são:
b=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad a=\bar{Y}-b\bar{X}.
Explico: b mede quanto, em média, Y varia quando X aumenta uma unidade; a é o valor predito de Y quando X=0 (nem sempre tem interpretação prática, depende do contexto).
Substituindo os valores que calculamos:
b=\frac{59}{60}=\frac{59}{60}\approx 0,98333\ldots
a=\bar{Y}-b\bar{X}=6-\frac{59}{60}\cdot 6=6\left(1-\frac{59}{60}\right)=6\cdot\frac{1}{60}=\frac{6}{60}=\frac{1}{10}=0{,}1.
Portanto a reta ajustada é
\hat{Y}=0{,}1 + 0{,}9833\;X
(ou exatamente \hat{Y}=\tfrac{1}{10}+\tfrac{59}{60}X).

Passo 6

Como checar rapidamente se a reta “faz sentido”: quando X=\bar{X}=6, a predição dá
\hat{Y}=0{,}1+0{,}9833\cdot 6 \approx 0{,}1+5{,}8998 \approx 5{,}9998\approx 6,
ou seja, a reta passa pelo ponto médio (\bar{X},\bar{Y})=(6,6), como deve acontecer. Bom sinal.

Passo 7

Instruções didáticas para construir o diagrama de dispersão (parte a):
  • No eixo horizontal (eixo x) coloque as notas no teste X. Escolha escala de 0 a 10 (ou de 2 a 10), marcas a cada 1.
  • No eixo vertical (eixo y) coloque os anos de experiência Y. Escolha escala de 0 a 10 (ou de 2 a 10), marcas a cada 1.
  • Plote cada ponto (X_i,Y_i) da lista: (2,3), (6,6), (7,5), (6,7), (5,6), (9,10), (8,9), (4,3), (3,2), (10,9).
  • Como dica: marque o ponto médio (6,6) e note que muitos pontos estão próximos da linha de inclinação positiva.
Se você quiser desenhar à mão, use uma folha quadriculada e marque os pontos conforme acima. Se for num software (Excel, Python, R), basta fornecer a tabela de pares e pedir um scatter plot.

Passo 8

Instruções para representar graficamente a reta ajustada (parte d):
  • Use a equação encontrada \hat{Y}=0{,}1+0{,}9833X.
  • Para desenhar a reta no mesmo gráfico do scatter, calcule dois pontos da reta (mais simples e suficiente para traçar uma reta):
    • Para X=0: \hat{Y}=0{,}1 → ponto (0,0{,}1).
    • Para X=10: \hat{Y}=0{,}1+0{,}9833\cdot 10=0{,}1+9{,}833=9{,}933 → ponto (10,9{,}933).
  • Trace a reta que passa por esses dois pontos; ela será a reta de regressão e você verá que fica perto da nuvem de pontos do scatter.
Se preferir traçar no gráfico manualmente, marque (0,0{,}1) e (10,9{,}933) e una-os com uma régua. Em software, peça ao pacote para sobrepor a linha de regressão ao scatter.

Passo 9

Pequeno exemplo adicional para fixar (se precisar aplicar na prova):
  • Se te derem somas semelhantes S_{xx}, S_{yy}, S_{xy}, sempre calcule r=S_{xy}/\sqrt{S_{xx}S_{yy}} e b=S_{xy}/S_{xx}, depois a=\bar{Y}-b\bar{X}. Anote as médias primeiro; facilita tudo.

Resposta

a) Pontos do diagrama de dispersão: (2,3),\;(6,6),\;(7,5),\;(6,7),\;(5,6),\;(9,10),\;(8,9),\;(4,3),\;(3,2),\;(10,9).
b) Coeficiente de correlação: r\approx 0{,}911. Interpretação: correlação linear positiva forte entre nota no teste e anos de experiência.
c) Coeficiente angular: b=\dfrac{59}{60}\approx 0{,}9833.
d) Reta de regressão: \displaystyle \hat{Y}=0{,}1+0{,}9833\,X (traçar usando, por exemplo, os pontos (0,0{,}1) e (10,9{,}933)).

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