Dez cargas puntiformes de
cada estão, igualmente, espaçadas ao longo de um círculo de raio 2 m . Calcule a força resultante sobre uma carga puntiforme de
, localizada
a 2 m sobre o eixo perpendicular ao círculo e que passa pelo centro.
a 2 m sobre o eixo perpendicular ao círculo e que passa pelo centro.
Passo 1
Dados do enunciado e o que é pedido:
- Número de cargas puntiformes na circunferência:
. - Carga de cada ponto na circunferência:
. - Raio do círculo:
. - Carga teste localizada no eixo perpendicular ao plano do círculo, a uma distância do centro:
. - Carga teste:
.
O que se pede: calcular a força resultante sobre a carga teste
causada pelas
cargas puntiformes no círculo (módulo e direção).
Passo 2
Entendimento e observação de simetria (sem resolver ainda):
- As
cargas estão igualmente espaçadas no círculo. Pela simetria, as componentes transversais (paralelas ao plano do círculo) das forças geradas por cargas opostas se anulam duas a duas. - Logo, a única componente que não se anula é a componente ao longo do eixo perpendicular (componente axial, na direção de
). - Portanto basta calcular a componente axial da força produzida por uma carga no anel e somar (por superposição) para todas as
cargas — isto é equivalente a multiplicar por .
Passo 3
Lei de Coulomb e campo elétrico de uma carga pontual (aulas rápidas):
- A lei de Coulomb diz que a força entre duas cargas puntuais
e separadas por uma distância tem módulo
onde
é a constante eletrostática (
) e
é a distância entre as cargas. A direção é ao longo da reta que une as cargas (atração se sinais opostos, repulsão se iguais).
- É útil falar em campo elétrico gerado por uma carga
: o campo em um ponto a distância tem módulo
e a força sobre uma carga teste
é
.
- Aqui vamos calcular o campo axial produzido por cada carga do círculo no ponto onde está
, e então usar .
Passo 4
Geometria do problema e componente axial do campo produzido por uma única carga do anel:
- A distância entre uma carga do anel e o ponto sobre o eixo é
- O campo produzido por uma carga
no ponto tem módulo . A componente axial (ao longo de ) é o módulo vezes , onde (ângulo entre a linha que une as cargas e o eixo). - Portanto a componente axial devido a uma única carga vale
- Substituindo
obtemos
Expliquei cada variável:
é a carga do ponto do anel,
é a posição axial do ponto onde queremos o campo,
é o raio do anel,
é a distância direta entre a carga do anel e o ponto sobre o eixo.
Passo 5
Superposição para obter o campo total no eixo:
- Como todas as
cargas têm o mesmo valor e estão distribuídas simetricamente, as componentes axiais se somam e as transversais se anulam. - Assim o campo axial total é
- A força sobre a carga teste
é
Observe que o sinal de
determina a direção da força: se
é negativo e
for positivo no sentido +z, então a força será no sentido contrário (atração).
Passo 6
Conversões numéricas e cálculo do denominador:
- Converter as cargas para SI:
- Carga total do anel:
- Distâncias:
, , portanto
Passo 7
Cálculo do campo axial e da força (passo a passo com números):
- Constante
:
- Campo axial no ponto devido ao anel:
Substituindo os valores:
Calcule a fração primeiro:
Agora
- Força sobre
:
O sinal negativo indica que a força está no sentido negativo do eixo
, ou seja, dirigida em direção ao centro do anel (atração), porque a carga do anel é positiva e a carga teste é negativa.
Passo 8
Interpretação final e verificação de ordem de grandeza:
- Resultado faz sentido fisicamente: carga negativa é atraída para o anel de cargas positivas.
- A magnitude
é razoável dado que as cargas são relativamente grandes (micocoulombs) e distâncias curtas (metros). - Se quiser arredondar para duas casas significativas:
apontando para o centro do anel (sentido ).