Dez cargas puntiformes de 500 \mu C cada estão, igualmente, espaçadas ao longo de um círculo de raio 2 m . Calcule a força resultante sobre uma carga puntiforme de -20 \mu C, localizada
a 2 m sobre o eixo perpendicular ao círculo e que passa pelo centro.

Passo 1

Dados do enunciado e o que é pedido:
  • Número de cargas puntiformes na circunferência: N=10.
  • Carga de cada ponto na circunferência: q=500\\ \mu\mathrm{C}.
  • Raio do círculo: R=2\\ \mathrm{m}.
  • Carga teste localizada no eixo perpendicular ao plano do círculo, a uma distância do centro: z=2\\ \mathrm{m}.
  • Carga teste: Q=-20\\ \mu\mathrm{C}.
O que se pede: calcular a força resultante sobre a carga teste Q causada pelas N cargas puntiformes no círculo (módulo e direção).

Passo 2

Entendimento e observação de simetria (sem resolver ainda):
  • As N cargas estão igualmente espaçadas no círculo. Pela simetria, as componentes transversais (paralelas ao plano do círculo) das forças geradas por cargas opostas se anulam duas a duas.
  • Logo, a única componente que não se anula é a componente ao longo do eixo perpendicular (componente axial, na direção de z).
  • Portanto basta calcular a componente axial da força produzida por uma carga no anel e somar (por superposição) para todas as N cargas — isto é equivalente a multiplicar por N.

Passo 3

Lei de Coulomb e campo elétrico de uma carga pontual (aulas rápidas):
  • A lei de Coulomb diz que a força entre duas cargas puntuais q_1 e q_2 separadas por uma distância r tem módulo
F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2},
onde k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} é a constante eletrostática ( k\approx 8{,}98755179\times 10^{9}\\ \mathrm{N\,m^2/C^2}) e r é a distância entre as cargas. A direção é ao longo da reta que une as cargas (atração se sinais opostos, repulsão se iguais).
  • É útil falar em campo elétrico gerado por uma carga q: o campo em um ponto a distância r tem módulo
E = k\frac{|q|}{r^2},
e a força sobre uma carga teste Q é \vec F = Q\vec E.
  • Aqui vamos calcular o campo axial produzido por cada carga do círculo no ponto onde está Q, e então usar \vec F = Q\vec E_{\text{total}}.

Passo 4

Geometria do problema e componente axial do campo produzido por uma única carga do anel:
  • A distância entre uma carga do anel e o ponto sobre o eixo é
r = \sqrt{R^2 + z^2}.
  • O campo produzido por uma carga q no ponto tem módulo E_{\text{total}} = k\frac{q}{r^2}. A componente axial (ao longo de z) é o módulo vezes \cos\theta, onde \cos\theta = \dfrac{z}{r} (ângulo entre a linha que une as cargas e o eixo).
  • Portanto a componente axial devido a uma única carga vale
E_{z,\,\text{uma}} = k\frac{q}{r^2}\cdot\frac{z}{r} = k\frac{q\,z}{r^3}.
  • Substituindo r=\sqrt{R^2+z^2} obtemos
E_{z,\,\text{uma}} = k\frac{q\,z}{\left(R^2+z^2\right)^{3/2}}.
Expliquei cada variável: q é a carga do ponto do anel, z é a posição axial do ponto onde queremos o campo, R é o raio do anel, r é a distância direta entre a carga do anel e o ponto sobre o eixo.

Passo 5

Superposição para obter o campo total no eixo:
  • Como todas as N cargas têm o mesmo valor q e estão distribuídas simetricamente, as componentes axiais se somam e as transversais se anulam.
  • Assim o campo axial total é
E_z = N\cdot E_{z,\,\text{uma}} = k\frac{N q\, z}{\left(R^2+z^2\right)^{3/2}}.
  • A força sobre a carga teste Q é
\vec F = Q\,\vec E = Q\,E_z\,\hat{z}.
Observe que o sinal de Q determina a direção da força: se Q é negativo e E_z for positivo no sentido +z, então a força será no sentido contrário (atração).

Passo 6

Conversões numéricas e cálculo do denominador:
  • Converter as cargas para SI:
q = 500\\ \mu\mathrm{C} = 500\times 10^{-6}\\ \mathrm{C} = 5{,}0\times 10^{-4}\\ \mathrm{C},
Q = -20\\ \mu\mathrm{C} = -20\times 10^{-6}\\ \mathrm{C} = -2{,}0\times 10^{-5}\\ \mathrm{C}.
  • Carga total do anel:
N q = 10\cdot 5{,}0\times 10^{-4}\\ \mathrm{C} = 5{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{C}.
  • Distâncias: R=2\\ \mathrm{m}, z=2\\ \mathrm{m}, portanto
R^2+z^2 = 2^2+2^2 = 4+4 = 8,
\left(R^2+z^2\right)^{3/2} = 8^{3/2} = 8\sqrt{8} = 8\cdot 2\sqrt{2} = 16\sqrt{2}\approx 22{,}627417\\ (\mathrm{m^3}).

Passo 7

Cálculo do campo axial e da força (passo a passo com números):
  • Constante k:
k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 8{,}98755179\times 10^{9}\\ \mathrm{N\,m^2/C^2}.
  • Campo axial no ponto devido ao anel:
E_z = k\frac{N q\, z}{\left(R^2+z^2\right)^{3/2}}.
Substituindo os valores:
E_z \approx 8{,}98755179\times 10^{9}\cdot\frac{5{,}0\times 10^{-3}\cdot 2}{22{,}627417}.
Calcule a fração primeiro:
\frac{5{,}0\times 10^{-3}\cdot 2}{22{,}627417}=\frac{0{,}01}{22{,}627417}\approx 4{,}419417\times 10^{-4}.
Agora
E_z \approx 8{,}98755179\times 10^{9}\times 4{,}419417\times 10^{-4}\approx 3{,}9731\times 10^{6}\\ \mathrm{N/C}.
  • Força sobre Q:
F_z = Q\,E_z = (-2{,}0\times 10^{-5})\cdot (3{,}9731\times 10^{6}) \\ \mathrm{N}.
F_z \approx -7{,}9462\times 10^{1}\\ \mathrm{N} = -79{,}462\\ \mathrm{N}.
O sinal negativo indica que a força está no sentido negativo do eixo z, ou seja, dirigida em direção ao centro do anel (atração), porque a carga do anel é positiva e a carga teste é negativa.

Passo 8

Interpretação final e verificação de ordem de grandeza:
  • Resultado faz sentido fisicamente: carga negativa é atraída para o anel de cargas positivas.
  • A magnitude \approx 79{,}5\\ \mathrm{N} é razoável dado que as cargas são relativamente grandes (micocoulombs) e distâncias curtas (metros).
  • Se quiser arredondar para duas casas significativas: 79{,}5\\ \mathrm{N} apontando para o centro do anel (sentido -\hat{z}).

Resposta

-79{,}5\\ \mathrm{N}\\ \hat{z}

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