Duas linhas uniformes de cargas, densidade
cada, estão paralelas ao eixo
em
. Determine o vetor campo elétrico no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine o vetor campo elétrico no ponto
(qualquer
) gerado por duas linhas infinitas e uniformes de carga, com as seguintes informações dadas:
- Densidade linear de carga de cada linha:
(ou ). - As linhas são paralelas ao eixo
e estão localizadas em e . - Os pontos onde quero o campo são
e . - Tenho que fornecer o vetor campo elétrico (direção e módulo), indicando claramente as componentes.
Passo 2
Vou lembrar (e explicar) a fórmula do campo elétrico produzido por uma linha infinita e reta de carga uniforme. Pela simetria cilíndrica e usando a Lei de Gauss, o módulo do campo a uma distância
da linha é
onde:
-
é a densidade linear de carga (C/m); -
é a permissividade do vácuo ( ); -
é a distância perpendicular do ponto até a linha.
Esse campo aponta radialmente para fora da linha se(e para dentro se ). Aqui as linhas são infinitas, então o campo não depende de .
Passo 3
Calculo a distância
de cada linha até o ponto
. Para a linha em
o vetor que vai da linha até o ponto (projeção no plano
) é
A distância é
Para a linha em
o vetor é
e a distância novamente
Ou seja, ambos estão à mesma distância
do ponto
. O mesmo raciocínio vale para o ponto
(apenas muda o sinal de
).
Passo 4
Encontro os versores (vetores unitários) que dão a direção do campo produzido por cada linha no ponto
. Para a linha em
:
Para a linha em
:
Observação física importante: como
, o campo de cada linha no ponto aponta na direção dos vetores acima (ou seja, “para fora” das linhas).
Passo 5
Escrevo o campo produzido por cada linha como vetor:
Substituindo
:
Então os campos de cada linha têm componentes (no ponto
):
Passo 6
Somando as contribuições das duas linhas para obter o campo total em
:
Isso simplifica para
Observação: as componentes
se cancelam (uma é para cima, a outra para baixo), sobrando só a componente
apontando para a direita no caso do ponto
. O campo não depende de
.
Passo 7
Para o ponto
a simetria indica o mesmo módulo, mas sentido oposto em
(porque agora as posições das linhas ficam à direita do ponto), logo
Passo 8
Substituo
e
:
Portanto os vetores numéricos são aproximadamente
e
(escrevendo como componentes
).