Duas linhas uniformes de cargas, densidade \lambda=4 \mathrm{nC} / \mathrm{m} cada, estão paralelas ao eixo z em x=0, y= \pm 4 \mathrm{~m}. Determine o vetor campo elétrico no ponto ( \pm 4,0, z) \mathrm{m}.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o vetor campo elétrico no ponto (\pm 4,0,z) (qualquer z) gerado por duas linhas infinitas e uniformes de carga, com as seguintes informações dadas:
  • Densidade linear de carga de cada linha: \lambda=4\,\mathrm{nC/m} (ou \lambda=4\times10^{-9}\,\mathrm{C/m}).
  • As linhas são paralelas ao eixo z e estão localizadas em x=0,\;y=+4 e x=0,\;y=-4.
  • Os pontos onde quero o campo são (4,0,z) e (-4,0,z).
  • Tenho que fornecer o vetor campo elétrico (direção e módulo), indicando claramente as componentes.

Passo 2

Vou lembrar (e explicar) a fórmula do campo elétrico produzido por uma linha infinita e reta de carga uniforme. Pela simetria cilíndrica e usando a Lei de Gauss, o módulo do campo a uma distância \rho da linha é
E(\rho)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,\rho},
onde:
  • \lambda é a densidade linear de carga (C/m);
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_0\approx8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)});
  • \rho é a distância perpendicular do ponto até a linha.
    Esse campo aponta radialmente para fora da linha se \lambda>0 (e para dentro se \lambda<0). Aqui as linhas são infinitas, então o campo não depende de z.

Passo 3

Calculo a distância \rho de cada linha até o ponto (4,0,z). Para a linha em (0,4) o vetor que vai da linha até o ponto (projeção no plano xy) é
\vec{r}_1=(4-0,\;0-4,\;0)=(4,-4,0).
A distância é
\rho=\|\vec{r}_1\|=\sqrt{4^2+(-4)^2}=4\sqrt{2}.
Para a linha em (0,-4) o vetor é
\vec{r}_2=(4-0,\;0-(-4),\;0)=(4,4,0),
e a distância novamente
\rho=\|\vec{r}_2\|=4\sqrt{2}.
Ou seja, ambos estão à mesma distância 4\sqrt{2} do ponto (4,0,z). O mesmo raciocínio vale para o ponto (-4,0,z) (apenas muda o sinal de x).

Passo 4

Encontro os versores (vetores unitários) que dão a direção do campo produzido por cada linha no ponto (4,0,z). Para a linha em (0,4):
\hat{u}_1=\frac{\vec{r}_1}{\rho}=\frac{(4,-4,0)}{4\sqrt{2}}=\Big(\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}},0\Big).
Para a linha em (0,-4):
\hat{u}_2=\frac{\vec{r}_2}{\rho}=\frac{(4,4,0)}{4\sqrt{2}}=\Big(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}},0\Big).
Observação física importante: como \lambda>0, o campo de cada linha no ponto aponta na direção dos vetores acima (ou seja, “para fora” das linhas).

Passo 5

Escrevo o campo produzido por cada linha como vetor:
\vec{E}_i = E(\rho)\,\hat{u}_i = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,\rho}\,\hat{u}_i.
Substituindo \rho=4\sqrt{2}:
E(\rho)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\cdot 4\sqrt{2}}=\frac{\lambda}{8\sqrt{2}\,\pi\varepsilon_0}.
Então os campos de cada linha têm componentes (no ponto (4,0,z)):
\vec{E}_1=\frac{\lambda}{8\sqrt{2}\,\pi\varepsilon_0}\Big(\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}},0\Big)=\frac{\lambda}{16\pi\varepsilon_0}\,(1,-1,0),
\vec{E}_2=\frac{\lambda}{8\sqrt{2}\,\pi\varepsilon_0}\Big(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}},0\Big)=\frac{\lambda}{16\pi\varepsilon_0}\,(1,1,0).

Passo 6

Somando as contribuições das duas linhas para obter o campo total em (4,0,z):
\vec{E}=\vec{E}_1+\vec{E}_2=\frac{\lambda}{16\pi\varepsilon_0}\big((1, -1,0)+(1,1,0)\big)=\frac{\lambda}{16\pi\varepsilon_0}\,(2,0,0).
Isso simplifica para
\vec{E}=\frac{\lambda}{8\pi\varepsilon_0}\,(1,0,0).
Observação: as componentes y se cancelam (uma é para cima, a outra para baixo), sobrando só a componente x apontando para a direita no caso do ponto (4,0,z). O campo não depende de z.

Passo 7

Para o ponto (-4,0,z) a simetria indica o mesmo módulo, mas sentido oposto em x (porque agora as posições das linhas ficam à direita do ponto), logo
\vec{E}=\frac{\lambda}{8\pi\varepsilon_0}\,(-1,0,0).

Passo 8

Substituo \lambda=4\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m} e \varepsilon_0\approx8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}:
\frac{\lambda}{8\pi\varepsilon_0}\approx\frac{4\times10^{-9}}{8\pi\cdot 8{,}854\times10^{-12}}\approx 18{,}0\\ \mathrm{N/C}.
Portanto os vetores numéricos são aproximadamente (18{,}0,0,0)\\ \mathrm{N/C} e (-18{,}0,0,0)\\ \mathrm{N/C} (escrevendo como componentes x,y,z).

Resposta

\displaystyle \vec{E}(4,0,z)=\frac{\lambda}{8\pi\varepsilon_0}\,(1,0,0)\approx(18{,}0,0,0)\\ \mathrm{N/C}\n
\displaystyle \vec{E}(-4,0,z)=\frac{\lambda}{8\pi\varepsilon_0}\,(-1,0,0)\approx(-18{,}0,0,0)\\ \mathrm{N/C}

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