Diagonalize cada matriz dada A por meio de uma matriz ortogonal, ou seja, ache uma matriz ortogonal P tal que P^{t} A P seja diagonal:
(a) \left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\\\ 2 & 2\end{array}\right),

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar a matriz
A = \begin{pmatrix}2 & 2 \\[6pt] 2 & 2\end{pmatrix}
por uma matriz ortogonal P, ou seja, encontrar uma base ortonormal de autovetores de A e montar P tal que
P^{t} A P
seja diagonal. O conteúdo usado será cálculo de valores próprios, autovetores e ortonormalização.]

Passo 2

Calcular o polinômio característico de A. Como A é 2\times2, temos
\det(A - \lambda I) = \det\bigl(\begin{smallmatrix}2-\lambda & 2 \\[3pt]2 & 2-\lambda\end{smallmatrix}\bigr) = (2-\lambda)^2 - 2\cdot2 = \lambda^2 -4\lambda.]

Passo 3

Encontrar os valores próprios resolvendo
\lambda^2 -4\lambda = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda(\lambda - 4) = 0.
Assim, os autovalores são
\lambda_1 = 0 \quad\text{e}\quad \lambda_2 = 4.

Passo 4

Determinar um autovetor para cada autovalor:
Para \lambda_2=4, resolvemos (A-4I)x=0, ou seja
\begin{pmatrix}-2 & 2 \\[3pt]2 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\[3pt]x_2\end{pmatrix} =0
que leva a x_1 = x_2. Um autovetor é
v_2 = \begin{pmatrix}1\\[3pt]1\end{pmatrix}.
Para \lambda_1=0, resolvemos A x=0, ou seja
\begin{pmatrix}2 & 2 \\[3pt]2 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\[3pt]x_2\end{pmatrix} =0
que leva a x_1 = -\,x_2. Um autovetor é
v_1 = \begin{pmatrix}1\\[3pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Ortonormalizar os autovetores. Ambos já são ortogonais entre si; basta normalizar:
\|v_2\| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}, \quad \|v_1\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}.
Portanto vetores normalizados são
u_2 = \frac1{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[3pt]1\end{pmatrix}, \quad u_1 = \frac1{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[3pt]-1\end{pmatrix}.
Em seguida, montamos a matriz ortogonal P cujas colunas são u_2 e u_1 (na ordem em que queremos os autovalores na diagonal):
P = \begin{pmatrix} \frac1{\sqrt{2}} & \frac1{\sqrt{2}} \\[6pt] \frac1{\sqrt{2}} & -\frac1{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificar que
P^{t} A P = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\[3pt] 0 & 4 \end{pmatrix} \quad\text{ou}\quad \begin{pmatrix} 4 & 0 \\[3pt] 0 & 0 \end{pmatrix},
dependendo da ordem em que colocamos as colunas de P. Com a ordem escolhida (coluna 1 para \lambda_2=4, coluna 2 para \lambda_1=0), obtemos
P^{t} A P = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\[3pt] 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Resposta

A matriz ortogonal que diagonaliza A é
P = \begin{pmatrix} \frac1{\sqrt{2}} & \frac1{\sqrt{2}} \\[6pt] \frac1{\sqrt{2}} & -\frac1{\sqrt{2}} \end{pmatrix},
e
P^{t} A P = \begin{pmatrix}4 & 0 \\[3pt]0 & 0\end{pmatrix}.]

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