Para decidir se A é diagonalizável precisamos encontrar todos os autovalores (com suas multiplicidades algébricas) e os autovetores (e as multiplicidades geométricas) e verificar se existe um conjunto de três autovetores linearmente independentes.]
Passo 2
Breve explicação do método (passo a passo do que será feito; aula rápida e prática):
Diagonalizar uma matriz A significa encontrar uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que
P^{-1}AP=D,
onde as entradas diagonais de D são autovalores de A e as colunas de P são autovetores correspondentes (um autovetor por autovalor na mesma ordem).
Procedimento prático:
Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I) e achar os autovalores \lambda (raizes).
Para cada autovalor \lambda, resolver (A-\lambda I)v=0 para obter a(s) família(s) de autovetores.
Comparar multiplicidade algébrica (da raiz \lambda no polinômio) com a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio \ker(A-\lambda I)). A é diagonalizável sse a soma das multiplicidades geométricas é 3 (isto é, existem 3 autovetores independentes).
Vou mostrar todos os passos de cálculo, devagarinho, para você conseguir reproduzir na prova.
Passo 3
Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I).
logo \lambda=1 é raiz. Faço divisão sintética ou fatoração para reduzir o polinômio:
dividindo \lambda^3+3\lambda^2+0\lambda-4 por (\lambda-1) obtém-se o quociente \lambda^2+4\lambda+4. Logo
A multiplicidade geométrica de \lambda=-2 é 1, embora a multiplicidade algébrica seja 2.]
Passo 7
Interpretação final (critério de diagonalização) e conclusão:
Resumo dos autovalores e espaços próprios:
\lambda=1 com multiplicidade algébrica 1 e espaço próprio E_{1}=\operatorname{span}\{(1,-1,1)^T\} (geométrica 1).
\lambda=-2 com multiplicidade algébrica 2 e espaço próprio E_{-2}=\operatorname{span}\{(-1,1,0)^T\} (geométrica 1).
Para a matriz 3\times3 ser diagonalizável é preciso ter três autovetores linearmente independentes (soma das multiplicidades geométricas igual a 3). Aqui a soma das multiplicidades geométricas é 1+1=2<3.
Conclusão: não existe uma base de \mathbb{R}^3 (ou \mathbb{C}^3) formada apenas por autovetores de A. Portanto A NÃO é diagonalizável.
Se fosse diagonalizável, eu montaria P com colunas os autovetores e D com os autovalores na diagonal; neste caso não é possível porque falta um autovetor independente para completar a base.
Resposta
A matriz A não é diagonalizável.
Autovalores: \lambda=1 (alg. 1), \lambda=-2 (alg. 2).