Achar os valores e vetores próprios da matriz A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 7 & 6 \\\\ -1 & -5 & -6 \\\\ 1 & 1 & 2\end{array}\right) e dizer se ela é diagonalizável.
Repare que a solução do sistema para \lambda=2 dá um espaço próprio de dimensão 1 (apenas múltiplos de v_2), embora a multiplicidade algébrica de \lambda=2 seja 2.]
Passo 6
Condição de diagonalizabilidade (mini-aula): uma matriz n\times n é diagonalizável sobre \mathbb{R} (ou \mathbb{C}) se existir uma base formada por autovetores. Isso equivale a pedir que a soma das dimensões dos espaços próprios (geometric multiplicities) seja n. Sempre vale que, para cada valor próprio, a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) é menor ou igual à multiplicidade algébrica (multiplicidade como raiz do polinômio característico). Para A de ordem 3 precisamos de 3 autovetores linearmente independentes.
No nosso caso:
Para \lambda=-4: multiplicidade algébrica 1, multiplicidade geométrica 1 (temos um autovetor v_{-4}).
Para \lambda=2: multiplicidade algébrica 2, multiplicidade geométrica 1 (apenas um vetor independente v_2).
A soma das dimensões geométricas é 1+1=2<3. Portanto não existem 3 autovetores independentes: a matriz A NÃO é diagonalizável.
Resposta
\lambda=-4, autovetores proporcionais a \begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}\newline
\lambda=2 (multiplicidade algébrica 2), autovetores proporcionais a \begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]-1\end{pmatrix}\newline
A matriz A não é diagonalizável.]