No diagrama do lugar geométrico das raízes, o número de lugares separados é igual ao número de polos de malha fechada.
Escolha uma opção:
◯ Verdadeiro
◯ Falso

Passo 1

O enunciado apresenta a afirmação: “No diagrama do lugar geométrico das raízes, o número de lugares separados é igual ao número de polos de malha fechada.”
A tarefa é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Não há outros dados numéricos: apenas é preciso interpretar corretamente o que se entende por “lugares” (ramificações do lugar geométrico) e “polos de malha fechada”.

Passo 2

Vamos lembrar o que é o lugar geométrico das raízes (root locus) de forma simples e direta. Seja a função de malha aberta
L(s)=K\frac{N(s)}{D(s)}
onde K é o ganho (variável), N(s) é o polinômio dos zeros e D(s) é o polinômio dos polos abertos. O lugar geométrico das raízes é o conjunto dos pontos no plano s que são raízes da equação característica do sistema em malha fechada quando K varia:
1+L(s)=0.
Ou seja, o root locus mostra a trajetória das posições dos polos de malha fechada (as raízes da característica) à medida que K muda.

Passo 3

Escrevendo a equação característica explicitamente:
1+K\frac{N(s)}{D(s)}=0 \quad\Longrightarrow\quad D(s)+K\,N(s)=0.
Seja \deg(D)=n e \deg(N)=m. Em sistemas propriamente modelados costuma-se ter n\ge m (ou seja, a função de transferência é própria). Então o polinômio D(s)+K\,N(s) tem grau n (o termo de maior grau vem de D(s) quando n\ge m). Logo, para cada valor de K a equação característica tem exatamente n raízes — isto é, o sistema em malha fechada possui n polos (contando multiplicidades).

Passo 4

Agora a relação com o root locus: o lugar geométrico das raízes representa as trajetórias dessas n raízes (polos de malha fechada) quando K varia de 0 a \infty. Cada polo aberto normalmente “gera” uma ramificação do locus; assim, o número de ramos (ou “lugares separados”) do root locus é igual a \deg(D)=n, o número de polos da função de malha aberta. Mas, como vimos no passo anterior, o número de polos de malha fechada para cada K também é n. Portanto o número de ramos do root locus coincide com o número de polos de malha fechada.

Passo 5

Pequenos comentários práticos (para não cair em confusão na prova):
  • A igualdade mencionada vale sob as hipóteses usuais: modelo racional com n\ge m (função de transferência própria) e sem cancelamentos exatos de polos e zeros entre N(s) e D(s).
  • Se houver cancelamento exato de um polo aberto com um zero aberto (na modelagem), o número efetivo de ramos do lugar pode diminuir — mas isso significa que o número efetivo de polos que realmente aparecem na malha fechada também mudou por causa do cancelamento. Ou seja, a regra básica permanece: número de ramos = número de polos que efetivamente participam do polinômio característica.

Passo 6

Exemplo rápido e concreto para fixar (sem cálculo pesado): L(s)=K/\bigl(s(s+1)(s+2)\bigr). Aqui \deg(D)=3. Então o lugar tem 3 ramos e, para qualquer K, a equação característica tem 3 raízes — portanto o sistema em malha fechada tem 3 polos. Isso ilustra diretamente a igualdade pedida.

Resposta

Verdadeiro

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