No diagrama do lugar geométrico das raízes, o número de lugares separados é igual ao número de polos de malha fechada.
Escolha uma opção:
◯ Verdadeiro
◯ Falso
◯ Verdadeiro
◯ Falso
Passo 1
O enunciado apresenta a afirmação: “No diagrama do lugar geométrico das raízes, o número de lugares separados é igual ao número de polos de malha fechada.”
A tarefa é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Não há outros dados numéricos: apenas é preciso interpretar corretamente o que se entende por “lugares” (ramificações do lugar geométrico) e “polos de malha fechada”.
A tarefa é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Não há outros dados numéricos: apenas é preciso interpretar corretamente o que se entende por “lugares” (ramificações do lugar geométrico) e “polos de malha fechada”.
Passo 2
Vamos lembrar o que é o lugar geométrico das raízes (root locus) de forma simples e direta. Seja a função de malha aberta
onde
é o ganho (variável),
é o polinômio dos zeros e
é o polinômio dos polos abertos. O lugar geométrico das raízes é o conjunto dos pontos no plano
que são raízes da equação característica do sistema em malha fechada quando
varia:
Ou seja, o root locus mostra a trajetória das posições dos polos de malha fechada (as raízes da característica) à medida que
muda.
Passo 3
Escrevendo a equação característica explicitamente:
Seja
e
. Em sistemas propriamente modelados costuma-se ter
(ou seja, a função de transferência é própria). Então o polinômio
tem grau
(o termo de maior grau vem de
quando
). Logo, para cada valor de
a equação característica tem exatamente
raízes — isto é, o sistema em malha fechada possui
polos (contando multiplicidades).
Passo 4
Agora a relação com o root locus: o lugar geométrico das raízes representa as trajetórias dessas
raízes (polos de malha fechada) quando
varia de
a
. Cada polo aberto normalmente “gera” uma ramificação do locus; assim, o número de ramos (ou “lugares separados”) do root locus é igual a
, o número de polos da função de malha aberta. Mas, como vimos no passo anterior, o número de polos de malha fechada para cada
também é
. Portanto o número de ramos do root locus coincide com o número de polos de malha fechada.
Passo 5
Pequenos comentários práticos (para não cair em confusão na prova):
- A igualdade mencionada vale sob as hipóteses usuais: modelo racional com
(função de transferência própria) e sem cancelamentos exatos de polos e zeros entre e . - Se houver cancelamento exato de um polo aberto com um zero aberto (na modelagem), o número efetivo de ramos do lugar pode diminuir — mas isso significa que o número efetivo de polos que realmente aparecem na malha fechada também mudou por causa do cancelamento. Ou seja, a regra básica permanece: número de ramos = número de polos que efetivamente participam do polinômio característica.
Passo 6
Exemplo rápido e concreto para fixar (sem cálculo pesado):
. Aqui
. Então o lugar tem 3 ramos e, para qualquer
, a equação característica tem 3 raízes — portanto o sistema em malha fechada tem 3 polos. Isso ilustra diretamente a igualdade pedida.
Resposta
Verdadeiro