O diâmetro do átomo do Al vale 0,00845 \mathrm{~nm}, calcule o volume de sua célula unitária em \mathrm{nm}^{3} sabendo que o Al apresenta estrutura cristalina CCC .

Passo 1

O enunciado pede o volume da célula unitária do alumínio em \mathrm{nm}^{3}. Informações dadas:
  • Diâmetro do átomo: d = 0,00845\\ \mathrm{nm}.
  • Estrutura cristalina: CCC (interpreto como “cúbica de corpo centrado” — isto é, BCC).
    Pergunta clara: calcular o volume da célula unitária em \mathrm{nm}^{3}.

Passo 2

Entendendo a geometria da célula CCC (cúbica de corpo centrado):
  • A célula é um cubo de aresta a.
  • Há um átomo em cada vértice (oito vértices, cada um contribuindo com 1/8 de átomo) e um átomo inteiro no centro da célula → total de 2 átomos por célula (essa contagem não é necessária para o volume, mas ajuda a entender a estrutura).
  • Importante: nos cristais BCC os átomos “se tocam” ao longo da diagonal espacial (diagonal do cubo, que liga um vértice ao vértice oposto passando pelo átomo do centro). A diagonal espacial tem comprimento \sqrt{3}\,a.
  • Ao longo dessa diagonal cabem quatro raios atômicos (dois raios do átomo do vértice até o centro do átomo central, totalizando o diâmetro de dois átomos): portanto vale a relação
\sqrt{3}\,a = 4r,
onde r é o raio atômico. Dessa relação isolamos a:
a = \frac{4r}{\sqrt{3}}.

Passo 3

Converter o diâmetro fornecido em raio:
r=\frac{d}{2}=\frac{0,00845}{2}=0,004225\\ \mathrm{nm}.
Aqui eu apenas dividi o diâmetro por 2 para obter o raio.

Passo 4

Calcular a aresta a usando a fórmula da CCC/BCC:
a=\frac{4r}{\sqrt{3}}.
Substituindo r=0,004225\\ \mathrm{nm}:
a=\frac{4\cdot 0,004225}{\sqrt{3}}.
Calculemos numericamente: \sqrt{3}\approx 1,7320508076, então
4\cdot 0,004225 = 0,0169
e
a \approx \frac{0,0169}{1,7320508076}\approx 0,0097572195\\ \mathrm{nm}.

Passo 5

Agora o volume da célula unitária é o volume do cubo de aresta a:
V = a^{3}.
Usando a\approx 0,0097572195\\ \mathrm{nm} calculamos
V \approx (0,0097572195)^{2}\cdot 0,0097572195.
Primeiro o quadrado (aproximação):
(0,0097572195)^{2}\approx 0,0000952033\\ \mathrm{nm}^{2}.
Multiplicando pelo terceiro fator:
V \approx 0,0000952033\cdot 0,0097572195 \approx 9{,}29\times 10^{-7}\\ \mathrm{nm}^{3}.
(Arredondei o resultado para três algarismos significativos, compatível com a precisão do dado inicial.)

Resposta

9{,}29\times10^{-7}\\ \mathrm{nm}^{3}

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