O volume da célula unitária do Vanádio de estrutura CCC vale 0,056 \mathrm{~nm}^{3}. Determine o raio atômico deste átomo.

Passo 1

O enunciado dá que a célula unitária do Vanádio é de estrutura CCC (cúbica de corpo centrado) e que o volume da célula unitária vale \,0,056\\ \mathrm{nm}^3. A pergunta é: determine o raio atômico desse átomo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Volume da célula unitária: \,V_{\text{cel}}=0,056\\ \mathrm{nm}^3.
  • Tipo cristalino: CCC (cúbica de corpo centrado).
    O que se pede: o raio atômico \,r do átomo em (pelo menos) unidades de nm (pode-se também converter para pm).

Passo 2

Entendimento geométrico da célula CCC (a parte de física/matemática que precisamos entender). Vou explicar com calma: numa rede cúbica de corpo centrado (CCC) temos um átomo em cada canto do cubo e mais um átomo no centro do cubo. A aresta do cubo chamamos de \,a (parâmetro de rede). Uma informação geométrica chave é a relação entre o parâmetro de rede \,a e o raio atômico \,r.
  • Ao longo da diagonal do cubo que passa pelo corpo (diagonal espacial), encontramos o centro de um átomo de um canto, depois o átomo central, e depois o átomo do canto oposto. Esses três centros estão colineares ao longo da diagonal do cubo.
  • A distância entre o centro de um canto e o centro do átomo no centro é \,2r (porque os dois átomos se tocam). Como há duas dessas distâncias numa diagonal completa do canto até o canto oposto, a diagonal espacial total vale \,4r.
  • Geometricamente, a diagonal espacial de um cubo de aresta \,a tem comprimento \,a\sqrt{3}.
    Portanto a relação é:
a\sqrt{3}=4r.
Explicando cada símbolo: \,a é o comprimento da aresta do cubo; \,r é o raio do átomo; \sqrt{3} vem da fórmula da diagonal espacial do cubo.

Passo 3

Ligando volume da célula ao parâmetro de rede. O volume da célula unitária cúbica é simplesmente o cubo da aresta:
V_{\text{cel}}=a^{3}.
Assim, para obter \,a a partir do volume dado basta fazer a raiz cúbica:
a = \sqrt[3]{V_{\text{cel}}}.
Aplicando o valor numérico fornecido \,V_{\text{cel}}=0,056\\ \mathrm{nm}^3, precisamos calcular \,a=\sqrt[3]{0,056}\\ \mathrm{nm}.

Passo 4

Cálculo prático da raiz cúbica \,a=\sqrt[3]{0,056}. Vou fazer esse cálculo de modo que você consiga reproduzir sem calculadora: usamos aproximações por tentativa com cubos conhecidos. Alguns cubos aproximados: (0,38)^3=0,054872 e (0,39)^3=0,059319. O valor 0,056 está entre esses dois, mais próximo de 0,38. Refinando por tentativa:
  • teste (0,3826)^3: calcule passo a passo: 0,3826^2 = 0,146393\quad\text{(multiplicando 0,3826 por 0,3826)}
0,3826^3 = 0,146393\times 0,3826 \approx 0,056002\\ .
Esse resultado é muito próximo de 0,056, então podemos usar
a \approx 0,3826\\ \mathrm{nm}.

Passo 5

Agora usamos a relação entre \,a e \,r obtida no Passo 2:
a\sqrt{3}=4r \quad\Longrightarrow\quad r=\frac{\sqrt{3}}{4}\,a.
Expliquei antes o que significa cada símbolo. Substituímos \,a\approx0,3826\\ \mathrm{nm}. Tomando \sqrt{3}\approx1,73205,
r \approx \frac{1,73205}{4}\times 0,3826\\ \mathrm{nm}.
Calcule passo a passo (multiplicação fácil de fazer à mão): \dfrac{\sqrt{3}}{4}\approx0,4330127. Então
r \approx 0,4330127\times 0,3826 \approx 0,1657\\ \mathrm{nm}.

Passo 6

Interpretação e conversão de unidades (útil para checar ordem de grandeza). Em picômetros ( 1\\ \mathrm{nm}=1000\\ \mathrm{pm}):
r \approx 0,1657\\ \mathrm{nm}=165,7\\ \mathrm{pm}.

Resposta

\displaystyle r \approx 0,1657\\ \mathrm{nm}=165{,}7\\ \mathrm{pm}

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