O volume da célula unitária do Vanádio de estrutura CCC vale
. Determine o raio atômico deste átomo.
Passo 1
O enunciado dá que a célula unitária do Vanádio é de estrutura CCC (cúbica de corpo centrado) e que o volume da célula unitária vale
. A pergunta é: determine o raio atômico desse átomo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Volume da célula unitária:
. - Tipo cristalino: CCC (cúbica de corpo centrado).
O que se pede: o raio atômicodo átomo em (pelo menos) unidades de nm (pode-se também converter para pm).
Passo 2
Entendimento geométrico da célula CCC (a parte de física/matemática que precisamos entender). Vou explicar com calma: numa rede cúbica de corpo centrado (CCC) temos um átomo em cada canto do cubo e mais um átomo no centro do cubo. A aresta do cubo chamamos de
(parâmetro de rede). Uma informação geométrica chave é a relação entre o parâmetro de rede
e o raio atômico
.
- Ao longo da diagonal do cubo que passa pelo corpo (diagonal espacial), encontramos o centro de um átomo de um canto, depois o átomo central, e depois o átomo do canto oposto. Esses três centros estão colineares ao longo da diagonal do cubo.
- A distância entre o centro de um canto e o centro do átomo no centro é
(porque os dois átomos se tocam). Como há duas dessas distâncias numa diagonal completa do canto até o canto oposto, a diagonal espacial total vale . - Geometricamente, a diagonal espacial de um cubo de aresta
tem comprimento .
Portanto a relação é:
Explicando cada símbolo:
é o comprimento da aresta do cubo;
é o raio do átomo;
vem da fórmula da diagonal espacial do cubo.
Passo 3
Ligando volume da célula ao parâmetro de rede. O volume da célula unitária cúbica é simplesmente o cubo da aresta:
Assim, para obter
a partir do volume dado basta fazer a raiz cúbica:
Aplicando o valor numérico fornecido
, precisamos calcular
.
Passo 4
Cálculo prático da raiz cúbica
. Vou fazer esse cálculo de modo que você consiga reproduzir sem calculadora: usamos aproximações por tentativa com cubos conhecidos. Alguns cubos aproximados:
e
. O valor
está entre esses dois, mais próximo de
. Refinando por tentativa:
- teste
: calcule passo a passo:
Esse resultado é muito próximo de
, então podemos usar
Passo 5
Agora usamos a relação entre
e
obtida no Passo 2:
Expliquei antes o que significa cada símbolo. Substituímos
. Tomando
,
Calcule passo a passo (multiplicação fácil de fazer à mão):
. Então
Passo 6
Interpretação e conversão de unidades (útil para checar ordem de grandeza). Em picômetros (
):