O diämetro de uma circunferéncia lem extremidades nas extremidades da latus rectum da parábola y^{2}-8 y-8 x+32=0. Pede-se a equaçāo da circunferência.
\text { Resp.: }(x-4)^{2}+(y-4)^{2}=16

Passo 1

O enunciado pede a equação da circunferência cujo diâmetro tem extremidades nos pontos do latus rectum da parábola
y^{2}-8y-8x+32=0.
O conteúdo envolve: completar quadrado para pôr a parábola em forma padrão, encontrar seu parâmetro focal p, determinar os extremos do latus rectum e, com esses dois pontos, achar a circunferência de diâmetro dado.

Passo 2

Vamos reescrever a parábola em forma padrão. Agrupando y:
y^{2}-8y \;-\;8x+32=0 \;\Longrightarrow\; y^{2}-8y+16 \;=\;8x-32+16.
Ou seja,
(y-4)^{2} = 8x - 16 \;\Longrightarrow\; (y-4)^{2} = 8\bigl(x-2\bigr).

Passo 3

Na forma (y-k)^{2}=4p(x-h) temos vértice (h,k) e 4p=8, logo p=2. Portanto:
  • Vértice em (2,4).
  • A parábola abre para a direita, e o foco está em
\bigl(h+p,\,k\bigr) = (2+2,\,4) = (4,4).

Passo 4

O latus rectum é o segmento de reta que passa pelo foco e é perpendicular ao eixo da parábola. Como a parábola é horizontal, o latus rectum é vertical, em x=4, e seu comprimento vale \lvert4p\rvert=8. Os extremos são
\bigl(4,\,4+2p\bigr) = (4,\,4+4) = (4,8) \quad\text{e}\quad \bigl(4,\,4-2p\bigr) = (4,\,4-4) = (4,0).

Passo 5

Esses dois pontos (4,8) e (4,0) são as extremidades do diâmetro da circunferência buscada.
  • O centro da circunferência é o ponto médio:
\Bigl(\tfrac{4+4}{2},\,\tfrac{8+0}{2}\Bigr) = (4,4).
  • O raio é metade da distância entre os extremos, isto é,
r = \tfrac12\sqrt{(4-4)^{2}+(8-0)^{2}} = \tfrac12\cdot8 = 4.
Logo, a equação da circunferência com centro (4,4) e raio 4 é
(x-4)^{2} + (y-4)^{2} = 16.

Resposta

(x-4)^{2} + (y-4)^{2} = 16

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