(ZÓZIMO GONÇALVES) Deduzir a equaçāo da parábola de eixo vertical cujo foco è o ponto F=(-1,3) e que passa pelo ponto \mathrm{P}=(3,6).

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma parábola de eixo vertical que tem foco em \,F=(-1,3) e passa pelo ponto \,P=(3,6).
Conteúdo: forma canônica de uma parábola com eixo vertical
O que vamos usar:
  1. A forma \,(x-a)^2=4p\,(y-b), cuja parábola tem vértice (a,b), foco em (a,b+p) e diretiz ice y=b-p.
  2. Imposição de dados (foco e ponto da curva) para determinar a,b,p.

Passo 2

Escrevendo a forma geral
(x-a)^2=4p\,(y-b),
o foco é (a,b+p). Como o foco dado é (-1,3), obtemos
a=-1, \qquad b+p=3.

Passo 3

Como a parábola passa por P=(3,6), esse ponto satisfaz a equação. Substituindo x=3 e y=6 em (x-a)^2=4p\,(y-b) e usando a=-1, dá
(3-(-1))^2 \;=\;4p\,(6-b) \quad\Longrightarrow\quad (4)^2=4p\,(6-b) \quad\Longrightarrow\quad 16=4p\,(6-b).
Dividindo por 4:
4 = p\,(6-b).

Passo 4

Temos o sistema em b,p\): \[\begin{cases} b+p=3,\\\ p\,(6-b)=4. \end{cases}
Da primeira equação (b=3-p]. Substituindo na segunda:
p\bigl(6-(3-p)\bigr)=4 \;\Longrightarrow\; p\,(3+p)=4 \;\Longrightarrow\; p^2+3p-4=0.
Resolvendo:
p=(\,-4)\quad\text{ou}\quad p=1.

Passo 5

Cada valor de p dá um parabola de eixo vertical (uma abre para cima, outra para baixo):
  • Se p=1, então b=3-1=2 e a equação é (x+1)^2=4\,(y-2).
  • Se p=-4, então b=3-(-4)=7 e a equação é (x+1)^2=-16\,(y-7).
Normalmente escolhemos a parábola que abre para cima ( p>0).

Resposta

(x+1)^2=4\,(y-2).

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