O diâmetro externo de um cilindro feito de uma liga de aço deve ser torneado. O diâmetro inicial é de 300 mm , e o comprimento de 625 mm . O avanço utilizado é 0,35 \mathrm{~mm} / \mathrm{rot}, e a profundidade de corte 2,5 \mathrm{~mm}. O torneamento será executado com uma ferramenta de corte de metal duro, cujos parâmetros da equação de Taylor são: \mathrm{n}=0,24 e \mathrm{C}=450. As unidade para a equação de Taylor são minutos para a vida da ferramenta e \mathrm{m} / \mathrm{min} para a velocidade de corte. Calcule a velocidade de corte que permitirá que a vida da ferramenta seja exatamente igual ao tempo de corte de três peças.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Diâmetro inicial: D=300\\ \mathrm{mm}.
  • Comprimento a tornejar (comprimento da peça): L=625\\ \mathrm{mm}.
  • Avanço: f=0,35\\ \mathrm{mm/rot}.
  • Profundidade de corte: a=2,5\\ \mathrm{mm} (informação dada; não será necessária para o cálculo do tempo aqui se assumirmos uma passada por peça).
  • Parâmetros da equação de Taylor: n=0,24 e C=450. As unidades são T em minutos e V em \mathrm{m/min}.
  • O enunciado pede: encontrar a velocidade de corte V tal que a vida da ferramenta T seja exatamente igual ao tempo de corte de três peças.
Observação importante (para não me perder depois): vamos assumir que cada peça é torneada em uma única passagem longitudinal ao longo do comprimento L (ou seja, uma passada que percorre todo o comprimento da peça), usando o avanço e a velocidade indicados. Com isso o tempo por peça vem da relação entre avanço, rotação e velocidade de corte.

Passo 2

Relacionar velocidade de corte V com rotação N da peça:
  • A velocidade de corte em torneamento está ligada à rotação pela fórmula
N = \dfrac{1000\,V}{\pi D},
onde N é a rotação em \mathrm{rev/min}, V é a velocidade de corte em \mathrm{m/min} e D é o diâmetro em \mathrm{mm}.
Explicação curta: V é a velocidade tangencial na superfície; a circunferência é \pi D (em mm), por isso faz-se a conversão por 1000 para transformar mm em m.

Passo 3

Tempo de corte por peça a partir do avanço e da rotação:
  • O avanço f tem unidade \mathrm{mm/rot}. Se a peça precisa ser percorrida ao longo do comprimento L, o número de rotações necessárias é \dfrac{L}{f}.
  • Como N é \mathrm{rev/min}, o tempo por peça t (em minutos) é
t=\dfrac{\text{nº de rotações}}{N}=\dfrac{L/f}{N}=\dfrac{L}{f\,N}.ºçõ
Substituindo N da fórmula do passo anterior:
t=\dfrac{L}{f}\cdot\dfrac{\pi D}{1000\,V}=\dfrac{\pi D L}{1000\,f\,V}.

Passo 4

Tempo total de corte igual à vida da ferramenta:
  • Como o enunciado quer que a vida da ferramenta T seja igual ao tempo de corte de três peças, temos
T=3t=\dfrac{3\pi D L}{1000\,f\,V}.
Para simplificar introduzimos a constante
A=\dfrac{3\pi D L}{1000\,f},
de modo que
T=\dfrac{A}{V}.

Passo 5

Uso da equação de Taylor e manipulação algébrica:
  • A equação de Taylor é
V\,T^{n}=C.
Substituindo T=\dfrac{A}{V} obtemos
V\!\left(\dfrac{A}{V}\right)^{n}=C.
Desenvolvendo:
A^{n}\,V^{1-n}=C.
Isolando V:
V^{1-n}=\dfrac{C}{A^{n}} \quad\Rightarrow\quad V=\left(\dfrac{C}{A^{n}}\right)^{\dfrac{1}{1-n}}.
Esta é a fórmula que vamos usar numericamente. Breve interpretação: a velocidade desejada depende de C, do expoente n e da combinação geométrica/operacional A que contém comprimento, diâmetro e avanço.

Passo 6

Cálculo numérico de A:
A=\dfrac{3\pi D L}{1000\,f} =\dfrac{3\pi\cdot 300\cdot 625}{1000\cdot 0,35} =\dfrac{11250\pi}{7}\approx 5048,99.
(Unidade implícita que, junto com V em \mathrm{m/min}, faz T ficar em minutos.)

Passo 7

Calcular A^{n}, \dfrac{C}{A^{n}} e finalmente V:
  • Primeiro
A^{n}\approx 5048{,}99^{0{,}24}\approx 7{,}742.
  • Depois
\dfrac{C}{A^{n}}=\dfrac{450}{7{,}742}\approx 58{,}15.
  • E o expoente
\dfrac{1}{1-n}=\dfrac{1}{1-0{,}24}=\dfrac{1}{0{,}76}\approx 1{,}315789.
  • Logo
V=\left(58{,}15\right)^{1{,}315789}\approx 210{,}0\\ \mathrm{m/min}.

Passo 8

Interpretação final e dica prática:
  • A velocidade de corte que fará com que a vida da ferramenta seja exatamente o tempo para torneamento de três peças é aproximadamente 210{,}0\\ \mathrm{m/min}.
  • Em prática de máquina, escolheria a velocidade comercial mais próxima (por exemplo 210\\ \mathrm{m/min} ou 200\\ \mathrm{m/min} dependendo da caixa de velocidades), mas a conta técnica dá cerca de 210\\ \mathrm{m/min}.
  • Lembre-se: se o problema exigisse múltiplas passadas por peça para remover mais material (profundidades parciais), então o tempo por peça mudaria e seria preciso ajustar t somando tempos de todas as passadas. Aqui assumimos uma passada por peça conforme a leitura do enunciado.

Resposta

V \approx 210{,}0\\ \mathrm{m/min}

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