Foram realizados ensaios de vida de ferramenta em uma operação de torneamento e obtidos os seguintes resultados: (1) a uma velocidade de corte de 375 \mathrm{ft} / \mathrm{min}, a vida útil da ferramenta foi de 5,5 \mathrm{~min}, (2) a uma velocidade de corte de 275 \mathrm{ft} / \mathrm{min}, a vida útil da ferramenta foi de 53 min. (a) Determine os parâmetros n e C da equação de Taylor para a vida de ferramenta. (b) Com base nos valores de n e C, qual foi o provável material de ferramenta utilizado nessa operação de usinagem? (c) Utilizando a equação de Taylor, calcule a vida útil da ferramenta que corresponde a uma velocidade de corte de 300 \mathrm{ft} / \mathrm{min}. (d) Calcule a velocidade de corte que corresponde a uma vida útil da ferramenta \mathrm{T}=10 \mathrm{~min}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados (retirados do enunciado):
    • Ponto 1: velocidade de corte \,V_1=375\\ \mathrm{ft/min}, vida útil \,T_1=5{,}5\\ \mathrm{min}.
    • Ponto 2: velocidade de corte \,V_2=275\\ \mathrm{ft/min}, vida útil \,T_2=53\\ \mathrm{min}.
  • Perguntas:
    (a) Determinar os parâmetros \,n e \,C da equação de Taylor para vida de ferramenta.
    (b) Com base em \,n e \,C, indicar o provável material da ferramenta.
    (c) Calcular a vida \,T para \,V=300\\ \mathrm{ft/min}.
    (d) Calcular a velocidade \,V que corresponde a \,T=10\\ \mathrm{min}.

Passo 2

Apresentar a equação de Taylor e explicar as variáveis.
  • A forma usual da equação de Taylor é
V\,T^{n}=C,
onde:
  • \,V é a velocidade de corte (unidade: \mathrm{ft/min} aqui),
  • \,T é a vida útil da ferramenta (unidade: \mathrm{min}),
  • \,n e \,C são constantes da operação/material que precisamos determinar.
Explicação rápida do raciocínio: com dois ensaios (dois pares (V,T)) podemos montar duas equações \,V_1 T_1^{n}=C e \,V_2 T_2^{n}=C e igualando-as eliminar \,C e obter \,n. Depois, com \,n podemos calcular \,C.

Passo 3

Montar as duas equações com os dados e eliminar \,C.
  • Das medições temos:
375\cdot 5{,}5^{\,n}=C, \qquad 275\cdot 53^{\,n}=C.
Igualando as duas expressões para \,C:
375\cdot 5{,}5^{\,n}=275\cdot 53^{\,n}.
Dividindo ambos os lados por 275\cdot 5{,}5^{\,n}:
\frac{375}{275}=\left(\frac{53}{5{,}5}\right)^{n}.

Passo 4

Resolver para \,n usando logaritmos e explicar o porquê.
  • Aplicando logaritmo natural (qualquer base serve, natural é padrão) nos dois lados:
\ln\!\left(\frac{375}{275}\right)=n\cdot \ln\!\left(\frac{53}{5{,}5}\right).
  • Logo
n=\frac{\ln\!\left(\dfrac{375}{275}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{53}{5{,}5}\right)}.
  • Cálculo numérico (mostrando as etapas):
    • \dfrac{375}{275}=\dfrac{15}{11}\approx 1{,}363636.
      \ln\!\left(\dfrac{15}{11}\right)\approx 0{,}310155.
    • \dfrac{53}{5{,}5}=\dfrac{106}{11}\approx 9{,}6363636.
      \ln\!\left(\dfrac{106}{11}\right)\approx 2{,}265544.
    • Portanto
    n\approx\frac{0{,}310155}{2{,}265544}\approx 0{,}1369\approx 0{,}137.
Explicação didática: usar o log permite “trazer o expoente para frente” porque \ln(a^n)=n\ln a. Assim resolvemos uma incógnita que está como expoente.

Passo 5

Calcular \,C usando um dos pontos e explicar.
  • Usando a forma \,C=V_2 T_2^{\,n} (poderia usar o ponto 1, dá o mesmo resultado):
C = 275\cdot 53^{\,0{,}1369}.
  • Calculando 53^{0{,}1369}:
    • \ln(53^{0{,}1369})=0{,}1369\cdot\ln 53 \approx 0{,}1369\cdot 3{,}970292 \approx 0{,}54353.
    • Logo 53^{0{,}1369}=e^{0{,}54353}\approx 1{,}722.
  • Então
C\approx 275\cdot 1{,}722\approx 473{,}6.
Comentário: \,C tem unidades de \mathrm{ft/min} multiplicadas por unidade adimensional resultante de T^{n}, mas na prática tratamos \,C como constante numérica para a equação.

Passo 6

Responder (b): interpretar o valor de \,n e indicar o provável material de ferramenta, explicando por que.
  • Resultado obtido: \,n\approx 0{,}137.
  • Em usinagem, diferentes materiais de ferramenta têm faixas típicas de \,n:
    • Aço rápido (HSS): \,n tipicamente da ordem de 0{,}10 a 0{,}20.
    • Carboneto sinterizado (carbide): \,n tipicamente menor, frequentemente \sim 0{,}06 0{,}12.
    • Cerâmica/CBN: frequentemente apresentam valores maiores ou diferentes, dependendo do sistema, mas geralmente distintos das faixas acima.
  • Como \,n\approx 0{,}137 está dentro da faixa típica de HSS e é um pouco alto para muitos carbures comuns, o material mais provável da ferramenta é aço rápido (HSS).
    Observação: o valor também poderia, em alguns casos, ser compatível com certos carbures de alto desempenho, mas a escolha mais provável (e clássica) para esse \,n é HSS.

Passo 7

Calcular (c) — vida \,T para \,V=300\\ \mathrm{ft/min}.
  • A partir de \,V T^{n}=C,
T=\left(\frac{C}{V}\right)^{1/n}.
  • Substituindo os valores:
    • \dfrac{C}{V}=\dfrac{473{,}6}{300}\approx 1{,}5787.
    • 1/n\approx 1/0{,}1369\approx 7{,}305.
    • \ln T = \dfrac{1}{n}\ln\!\left(\dfrac{C}{V}\right)\approx 7{,}305\cdot \ln(1{,}5787).
    • \ln(1{,}5787)\approx 0{,}4563. Então \ln T\approx 7{,}305\cdot 0{,}4563\approx 3{,}3338.
    • Portanto T\approx e^{3{,}3338}\approx 28{,}0\\ \mathrm{min}.
  • Conclusão: para \,V=300\\ \mathrm{ft/min} a vida prevista é aproximadamente \,T\approx 28{,}0\\ \mathrm{min}.

Passo 8

Calcular (d) — velocidade \,V correspondente a \,T=10\\ \mathrm{min}.
  • Da equação \,V T^{n}=C isolamos \,V:
V=\frac{C}{T^{n}}.
  • Substituindo:
    • Primeiro calcular T^{n}=10^{\,0{,}1369}.
    • \ln(10^{\,0{,}1369})=0{,}1369\cdot\ln 10\approx 0{,}1369\cdot 2{,}302585\approx 0{,}3154.
    • Logo 10^{0{,}1369}=e^{0{,}3154}\approx 1{,}3717.
    • Então
    V\approx \frac{473{,}6}{1{,}3717}\approx 345{,}4\\ \mathrm{ft/min}.
  • Conclusão: para \,T=10\\ \mathrm{min} a velocidade prevista é aproximadamente \,V\approx 345{,}4\\ \mathrm{ft/min}.

Resposta

(a) n=0{,}137,\quad C\approx 473{,}6.
(b) Provável material da ferramenta: aço rápido (HSS).
(c) Para V=300\\ \mathrm{ft/min}: T\approx 28{,}0\\ \mathrm{min}.
(d) Para T=10\\ \mathrm{min}: V\approx 345{,}4\\ \mathrm{ft/min}.

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