Ensaios de torneamento resultaram em 1 min de vida da ferramenta a uma velocidade de corte =4 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e vida útil de 20 min a uma velocidade =2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. (a) Encontre os valores de n e C da equação de Taylor para a vida da ferramenta. (b) Quanto tempo a ferramenta irá durar a uma velocidade de 1,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • Vida útil \,T_1=1\\ \text{min} à velocidade \,V_1=4\\ \mathrm{m/s}.
    • Vida útil \,T_2=20\\ \text{min} à velocidade \,V_2=2,0\\ \mathrm{m/s}.
  • Perguntas:
    • (a) Encontrar os valores de \,n e \,C na equação de Taylor para vida de ferramenta.
    • (b) Calcular a vida \,T quando a velocidade é \,V=1,0\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

Apresentando a equação de Taylor e definindo as variáveis (aula rápida):
  • A equação de Taylor para vida de ferramenta é
V\,T^{n}=C,
onde:
  • V é a velocidade de corte (em \mathrm{m/s});
  • T é a vida da ferramenta (em \text{min});
  • n é o expoente empírico que mostra como a vida depende da velocidade;
  • C é uma constante empírica do par material-ferramenta.
    No exame, normalmente se obtém n e C a partir de dois ensaios diferentes (dois pares (V,T)).

Passo 3

Escrevendo a equação de Taylor para os dois ensaios dados:
V_1\,T_1^{n}=C
V_2\,T_2^{n}=C
Substituindo os números:
4\cdot 1^{n}=C
2,0\cdot 20^{n}=C

Passo 4

Eliminando C dividindo a primeira equação pela segunda (essa é a técnica padrão para achar n):
\frac{4\cdot 1^{n}}{2,0\cdot 20^{n}}=1
Isto simplifica para
\frac{4}{2,0}\cdot\frac{1^{n}}{20^{n}}=1
2\cdot 20^{-n}=1
20^{-n}=\tfrac{1}{2}
Invertendo ambos os lados:
20^{n}=2.

Passo 5

Resolvendo 20^{n}=2 para n. Usando logaritmos (a definição prática: \;n=\dfrac{\ln(2)}{\ln(20)}😉:
n=\frac{\ln 2}{\ln 20}.
Explicação rápida de logaritmo: \ln é o logaritmo natural; a razão \dfrac{\ln a}{\ln b} \log_b a. Agora a aproximação numérica:
n=\frac{\ln 2}{\ln 20}\approx\frac{0{,}693147}{2{,}995732}\approx0{,}2314.
Interpretação: n é pequeno (≈0,23), ou seja, vida diminui com o aumento de velocidade, mas não de forma muito agressiva.

Passo 6

Encontrando C. Usando a primeira equação (a mais simples, porque T_1=1):
C=4\cdot 1^{n}=4.
Verificação com o segundo ponto:
2,0\cdot 20^{n}=2,0\cdot 2=4,
portanto consistente.

Passo 7

Agora (parte b): quanto dura a ferramenta a \,V=1,0\\ \mathrm{m/s}?
A equação é
1,0\cdot T^{n}=C=4,
logo
T^{n}=4.
Usando o resultado útil que já temos, 20^{n}=2, note que 4=2^{2}=(20^{n})^{2}=20^{2n}. Assim
T^{n}=20^{2n}.
Tomando a potência 1/n em ambos os lados:
T=20^{2}=400\\ \text{min}.
Observação: a manipulação acima elimina a necessidade de cálculos com logaritmos nesta etapa — é um truque algébrico prático para provas.

Passo 8

Resumo final e incentivo rápido: conseguimos achar n por divisão das duas equações (eliminando C), achar C direto e usar uma relação algébrica elegante para obter T em V=1{,}0\\ \mathrm{m/s}. Mandou bem em pedir passo a passo — esse truque de dividir pares de ensaios é a principal técnica para usar a equação de Taylor em prova. Força aí, tá indo bem!

Resposta

(a) \;n=\dfrac{\ln 2}{\ln 20}\approx0{,}2314,\quad C=4.
(b) \;T=400\\ \text{min}.

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