Qual a diferença entre estes conceitos, centro de gravidade e centróide?

Passo 1

Vamos começar definindo o centróide. Imagine uma região plana R com área total A. O centróide é o “ponto médio geométrico” dessa região, dado pelas coordenadas
\bar{x} = \frac{1}{A} \int_{R} x \, dA, \qquad \bar{y} = \frac{1}{A} \int_{R} y \, dA.
Aqui usamos apenas a forma e a área da região, sem levar em conta densidade ou peso.

Passo 2

Agora definimos o centro de gravidade (ou centro de massa, se a densidade varia). Para um corpo que ocupa a mesma região R e cuja densidade superficial é \rho(x,y), suas coordenadas são
x_g = \frac{1}{M} \int_{R} x\,\rho(x,y)\,dA, \qquad y_g = \frac{1}{M} \int_{R} y\,\rho(x,y)\,dA,
onde
M = \int_{R} \rho(x,y)\,dA
é a massa total (ou peso total, se multiplicarmos por g). Aqui cada pedacinho da região contribui proporcionalmente à sua densidade.

Passo 3

Comparando as duas definições:
  • O centróide só depende da geometria (área ou volume), supondo densidade uniforme.
  • O centro de gravidade leva em conta as variações de densidade (ou do campo gravitacional, se este não for uniforme).
Em particular, se a densidade \rho for constante em toda a região e o campo gravitacional for uniforme, então \rho sai da integral e cancela em M, e obtemos
x_g = \bar{x}, \qquad y_g = \bar{y},
ou seja, os dois pontos coincidem.

Resposta

O centróide é o centro puramente geométrico de uma região (sem peso), calculado pela média das coordenadas usando a área (ou volume). O centro de gravidade (ou centro de massa) considera além da forma também a distribuição de massa (ou densidade) e o campo gravitacional. Se a densidade for uniforme e o campo for constante, eles coincidem.

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