Que diferença de fase (em graus) entre duas ondas iguais, a nāo ser pela constante de fase, que se propagam no mesmo sentido em uma corda esticada, produz uma onda resultante de amplitude 1,42 vezes a amplitude comum das duas ondas?
(a) 52,4
(b) 66,8
(c) 81,0
(d) 89,5
(e) 102,2

Passo 1

O enunciado pede: determinar a diferença de fase (em graus) entre duas ondas idênticas (mesma amplitude e mesma frequência), que se propagam no mesmo sentido numa corda, de modo que a onda resultante tenha amplitude igual a 1,42 vezes a amplitude comum das duas ondas. Informação dada e o que se pede:
  • As ondas têm amplitude comum A.
  • A amplitude da onda resultante é 1,42A.
  • Pergunta: qual é a diferença de fase \varphi (em graus) entre as duas ondas?
    Não há outras informações numéricas; a resposta deve ser uma das alternativas fornecidas.

Passo 2

Montar a expressão matemática da soma de duas ondas senoidais idênticas com diferença de fase \varphi. Seja a primeira onda \;A\sin(\omega t)\; e a segunda \;A\sin(\omega t+\varphi)\;. Usamos a identidade trigonométrica
\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\!\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\!\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right).
Aqui \alpha=\omega t e \beta=\omega t+\varphi. Aplicando a identidade:
A\sin(\omega t)+A\sin(\omega t+\varphi)=2A\cos\!\left(\frac{\varphi}{2}\right)\sin\!\left(\omega t+\frac{\varphi}{2}\right).
Explicando as variáveis:
  • A é a amplitude de cada onda individual.
  • \omega é a frequência angular (não precisamos do seu valor).
  • \varphi é a diferença de fase entre as ondas (desconhecida).
    A expressão mostra que a amplitude máxima (amplitude da onda resultante) é
R = 2A\cos\!\left(\frac{\varphi}{2}\right).

Passo 3

Usar o dado do enunciado: a amplitude resultante é 1,42A. Igualando:
2A\cos\!\left(\frac{\varphi}{2}\right)=1,42A.
Dividindo ambos os lados por A (que é diferente de zero):
2\cos\!\left(\frac{\varphi}{2}\right)=1,42.
Logo
\cos\!\left(\frac{\varphi}{2}\right)=\frac{1,42}{2}=0,71.

Passo 4

Determinar \varphi a partir de \cos\!\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)=0,71. Tomando arco cosseno:
\frac{\varphi}{2}=\operatorname{arccos}(0,71).
Para estimar \operatorname{arccos}(0,71) sem calculadora, note que \cos 45^\circ \approx 0,7071. Como 0,71 é muito próximo de 0,7071, espera-se \dfrac{\varphi}{2} muito próximo de 45^\circ. Para refinar a estimativa, podemos usar desenvolvimento linear em torno de x=\cos45^\circ: a derivada de \operatorname{arccos} x é -1/\sqrt{1-x^2}. Em x=0,7071 tem-se \sqrt{1-x^2}\approx0,7071, logo a sensibilidade é cerca de 1,4142 (em radianos por unidade de x). A diferença 0,71-0,7071=0,0029 causa uma variação aproximada de ângulo de -1,4142\times0,0029 rad \approx-0,00409 rad \approx-0,235^\circ. Portanto
\frac{\varphi}{2}\approx 45^\circ - 0,235^\circ \approx 44,765^\circ.
Multiplicando por 2:
\varphi \approx 2\times44,765^\circ \approx 89,53^\circ.

Passo 5

Verificar com as alternativas: a estimativa \varphi\approx89,53^\circ corresponde à alternativa (d) 89,5^\circ. A diferença de fase buscada é, portanto, aproximadamente 89,5^\circ.

Resposta

(d) 89,5^\circ

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