Que diferença de fase (em graus) entre duas ondas iguais, a nāo ser pela constante de fase, que se propagam no mesmo sentido em uma corda esticada, produz uma onda resultante de amplitude 1,42 vezes a amplitude comum das duas ondas?
(a) 52,4
(b) 66,8
(c) 81,0
(d) 89,5
(e) 102,2
(a) 52,4
(b) 66,8
(c) 81,0
(d) 89,5
(e) 102,2
Passo 1
O enunciado pede: determinar a diferença de fase (em graus) entre duas ondas idênticas (mesma amplitude e mesma frequência), que se propagam no mesmo sentido numa corda, de modo que a onda resultante tenha amplitude igual a
vezes a amplitude comum das duas ondas. Informação dada e o que se pede:
- As ondas têm amplitude comum
. - A amplitude da onda resultante é
. - Pergunta: qual é a diferença de fase
(em graus) entre as duas ondas?
Não há outras informações numéricas; a resposta deve ser uma das alternativas fornecidas.
Passo 2
Montar a expressão matemática da soma de duas ondas senoidais idênticas com diferença de fase
. Seja a primeira onda
e a segunda
. Usamos a identidade trigonométrica
Aqui
e
. Aplicando a identidade:
Explicando as variáveis:
-
é a amplitude de cada onda individual. -
é a frequência angular (não precisamos do seu valor). -
é a diferença de fase entre as ondas (desconhecida).
A expressão mostra que a amplitude máxima (amplitude da onda resultante) é
Passo 3
Usar o dado do enunciado: a amplitude resultante é
. Igualando:
Dividindo ambos os lados por
(que é diferente de zero):
Logo
Passo 4
Determinar
a partir de
. Tomando arco cosseno:
Para estimar
sem calculadora, note que
. Como
é muito próximo de
, espera-se
muito próximo de
. Para refinar a estimativa, podemos usar desenvolvimento linear em torno de
: a derivada de
é
. Em
tem-se
, logo a sensibilidade é cerca de
(em radianos por unidade de
). A diferença
causa uma variação aproximada de ângulo de
rad
rad
. Portanto
Multiplicando por
:
Passo 5
Verificar com as alternativas: a estimativa
corresponde à alternativa (d)
. A diferença de fase buscada é, portanto, aproximadamente
.
Resposta
(d)