Qual a diferença entre média e desvio padrão populacional e amostral? Por que no desvio padrão amostral dividimos por n-1 ?

Passo 1

Você perguntou duas coisas: (1) qual é a diferença entre média e desvio padrão populacional e amostral; (2) por que no desvio padrão amostral dividimos por n-1. Informações implícitas que vou usar: temos uma população com parâmetro desconhecido (média e variância verdadeiras) e uma amostra aleatória de tamanho n dessa população. Vou explicar definindo cada quantidade, mostrando fórmulas e derivando a razão do fator n-1 de forma passo a passo e didática.

Passo 2

Definições — média e variância na população (quantidades verdadeiras):
\text{População:}\qquad \mu \\ =\\ \text{média verdadeira da população}çãéçã
\text{População:}\qquad \sigma^2 \\ =\\ \text{variância verdadeira da população}çãâçã
Formulas (se tivéssemos todos os indivíduos x_1,x_2,\dots,x_N da população):
\mu = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i \qquad\text{e}\qquad \sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} (x_i-\mu)^2.
O desvio padrão populacional é \sigma=\sqrt{\sigma^2}.

Passo 3

Definições — média e variância amostral (estimadores quando só temos uma amostra):
Se retiramos uma amostra aleatória X_1,\dots,X_n da população (i.i.d.), definimos a média amostral
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i.
A variância amostral com correção de Bessel (a usada para estimar a variância populacional sem viés) é
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2.
O desvio padrão amostral correspondente é s=\sqrt{s^2}.
Observação: às vezes você verá também a versão com divisor n,
\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2,
mas essa versão tem propriedades diferentes (é viesada para a variância populacional).

Passo 4

Propriedade importante da média amostral (fato útil para a razão de n-1):
A média amostral é um estimador não viesado da média populacional:
\mathbb{E}[\bar{X}]=\mu.
Sua variância é
\operatorname{Var}(\bar{X})=\frac{\sigma^2}{n}.
Vou usar esses fatos na derivação.

Passo 5

Identidade algébrica que facilita a derivação (é central e fácil de memorizar):
Para qualquer valores X_i e a média populacional \mu,
\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2 = \sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2 + n(\bar{X}-\mu)^2.
Interpretação: a variabilidade total em torno de \mu se separa na variabilidade residual em torno da média amostral mais a variabilidade da média amostral em relação a \mu.

Passo 6

Tome esperança (esperança = valor médio em experimentos repetidos) da identidade do passo anterior. Primeiro observe
\mathbb{E}\!\left[\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2\right] = \sum_{i=1}^n \mathbb{E}\big[(X_i-\mu)^2\big] = n\sigma^2
porque cada \mathbb{E}[(X_i-\mu)^2]=\sigma^2. Agora, aplicando esperança à identidade:
n\sigma^2 = \mathbb{E}\!\left[\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2\right] + \mathbb{E}\!\left[n(\bar{X}-\mu)^2\right].
Mas \mathbb{E}[n(\bar{X}-\mu)^2]=n\operatorname{Var}(\bar{X})=n\cdot\frac{\sigma^2}{n}=\sigma^2. Substituindo:
n\sigma^2 = \mathbb{E}\!\left[\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2\right] + \sigma^2.

Passo 7

Isolando \mathbb{E}\!\left[\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2\right]:
\mathbb{E}\!\left[\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2\right] = n\sigma^2 - \sigma^2 = (n-1)\sigma^2.
Agora divida ambos os lados por n-1:
\mathbb{E}\!\left[\frac{1}{\,n-1\,}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2\right] = \sigma^2.
Isso mostra que o estimador s^2=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2 tem esperança igual à verdadeira variância \sigma^2: ele é não viesado.

Passo 8

Conclusão matemática sobre o porquê de dividir por n-1 (intuição estatística):
  • Ao calcular diferenças em relação à média amostral \bar{X}, já usamos a informação da amostra para estimar \mu. Isso “consome” um grau de liberdade: somente n-1 desvios independentes permanecem para avaliar a variabilidade em torno da média estimada.
  • A derivação do passo anterior mostra que se dividirmos por n obtemos um valor cuja esperança é \frac{n-1}{n}\sigma^2 — ou seja, subestima a variância verdadeira. Dividindo por n-1 corrigimos esse viés (Bessel’s correction) e tornamos o estimador da variância não viesado.

Passo 9

Nota prática sobre desvio padrão (raiz da variância):
  • A variância amostral s^2 com divisor n-1 é não viesada para \sigma^2.
  • O desvio padrão amostral s=\sqrt{s^2} não é exatamente não viesado para \sigma (a raiz introduz não-linearidade), mas s é amplamente usado como estimativa prática de \sigma. Em geral, para grandes n a diferença é pequena; para pequenos n existem correções mais sofisticadas se for necessário estimador não viesado de \sigma.

Passo 10

Exemplo numérico curto (para ver na prática):
Suponha amostra n=3 com valores X_1=2,\; X_2=4,\; X_3=5.
Calcule a média amostral:
\bar{X}=\frac{2+4+5}{3}=\frac{11}{3}\approx 3{,}666\ldots
Somatório dos quadrados em torno da média amostral:
\sum_{i=1}^3 (X_i-\bar{X})^2=(2-\tfrac{11}{3})^2+(4-\tfrac{11}{3})^2+(5-\tfrac{11}{3})^2
=(-\tfrac{5}{3})^2+(\tfrac{1}{3})^2+(\tfrac{4}{3})^2=\tfrac{25}{9}+\tfrac{1}{9}+\tfrac{16}{9}=\tfrac{42}{9}= \tfrac{14}{3}.
Variância com divisor n:
\hat{\sigma}^2=\frac{1}{3}\cdot \frac{14}{3}=\frac{14}{9}\approx 1{,}555\ldots
Variância com divisor n-1 (correta para estimar \sigma^2):
s^2=\frac{1}{2}\cdot \frac{14}{3}=\frac{7}{3}\approx 2{,}333\ldots
Veja que \hat{\sigma}^2 subestima a variância verdadeira em média; s^2 corrige isso.

Passo 11

Resumo da intuição amigável (para levar para a prova):
  • Média populacional \mu e variância \sigma^2 são parâmetros verdadeiros da população; média amostral \bar{X} e variância amostral s^2 são estimadores calculados a partir dos dados.
  • Quando estimamos a variância usamos a média amostral, que já “ajustou” os dados; por isso perdemos um grau de liberdade — restam n-1 quantidades independentes que realmente informam sobre a variabilidade. Dividir por n-1 garante que o estimador de variância seja não viesado (esperança igual a \sigma^2).
  • Mentalize: “gastei 1 grau de liberdade ao estimar a média, sobram n-1 para estimar a variância”.

Resposta

A média populacional \mu e o desvio padrão populacional \sigma são parâmetros verdadeiros da população; a média amostral \bar{X} e o desvio padrão amostral s=\sqrt{s^2} são estimadores calculados da amostra, com
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i, \qquad s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2.
Dividimos por n-1 no cálculo da variância amostral (Bessel’s correction) porque a média amostral já foi usada como estimativa de \mu, consumindo um grau de liberdade; a derivação mostra que
\mathbb{E}\!\left[\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2\right]=\sigma^2,
ou seja, dividir por n-1 torna o estimador da variância não viesado.

Exercícios relacionados