Qual a diferença entre média e desvio padrão populacional e amostral? Por que no desvio padrão amostral dividimos por
?
Passo 1
Você perguntou duas coisas: (1) qual é a diferença entre média e desvio padrão populacional e amostral; (2) por que no desvio padrão amostral dividimos por
. Informações implícitas que vou usar: temos uma população com parâmetro desconhecido (média e variância verdadeiras) e uma amostra aleatória de tamanho
dessa população. Vou explicar definindo cada quantidade, mostrando fórmulas e derivando a razão do fator
de forma passo a passo e didática.
Passo 2
Definições — média e variância na população (quantidades verdadeiras):
Formulas (se tivéssemos todos os indivíduos
da população):
O desvio padrão populacional é
.
Passo 3
Definições — média e variância amostral (estimadores quando só temos uma amostra):
Se retiramos uma amostra aleatória da população (i.i.d.), definimos a média amostral
Se retiramos uma amostra aleatória
A variância amostral com correção de Bessel (a usada para estimar a variância populacional sem viés) é
O desvio padrão amostral correspondente é
.
Observação: às vezes você verá também a versão com divisor ,
Observação: às vezes você verá também a versão com divisor
mas essa versão tem propriedades diferentes (é viesada para a variância populacional).
Passo 4
Propriedade importante da média amostral (fato útil para a razão de
):
A média amostral é um estimador não viesado da média populacional:
A média amostral é um estimador não viesado da média populacional:
Sua variância é
Vou usar esses fatos na derivação.
Passo 5
Identidade algébrica que facilita a derivação (é central e fácil de memorizar):
Para qualquer valores e a média populacional
,
Para qualquer valores
Interpretação: a variabilidade total em torno de
se separa na variabilidade residual em torno da média amostral mais a variabilidade da média amostral em relação a
.
Passo 6
Tome esperança (esperança = valor médio em experimentos repetidos) da identidade do passo anterior. Primeiro observe
porque cada
. Agora, aplicando esperança à identidade:
Mas
. Substituindo:
Passo 7
Isolando
:
Agora divida ambos os lados por
:
Isso mostra que o estimador
tem esperança igual à verdadeira variância
: ele é não viesado.
Passo 8
Conclusão matemática sobre o porquê de dividir por
(intuição estatística):
- Ao calcular diferenças em relação à média amostral
, já usamos a informação da amostra para estimar . Isso “consome” um grau de liberdade: somente desvios independentes permanecem para avaliar a variabilidade em torno da média estimada. - A derivação do passo anterior mostra que se dividirmos por
obtemos um valor cuja esperança é — ou seja, subestima a variância verdadeira. Dividindo por corrigimos esse viés (Bessel’s correction) e tornamos o estimador da variância não viesado.
Passo 9
Nota prática sobre desvio padrão (raiz da variância):
- A variância amostral
com divisor é não viesada para . - O desvio padrão amostral
não é exatamente não viesado para (a raiz introduz não-linearidade), mas é amplamente usado como estimativa prática de . Em geral, para grandes a diferença é pequena; para pequenos existem correções mais sofisticadas se for necessário estimador não viesado de .
Passo 10
Exemplo numérico curto (para ver na prática):
Suponha amostra com valores
.
Calcule a média amostral:
Suponha amostra
Calcule a média amostral:
Somatório dos quadrados em torno da média amostral:
Variância com divisor
:
Variância com divisor
(correta para estimar
):
Veja que
subestima a variância verdadeira em média;
corrige isso.
Passo 11
Resumo da intuição amigável (para levar para a prova):
- Média populacional
e variância são parâmetros verdadeiros da população; média amostral e variância amostral são estimadores calculados a partir dos dados. - Quando estimamos a variância usamos a média amostral, que já “ajustou” os dados; por isso perdemos um grau de liberdade — restam
quantidades independentes que realmente informam sobre a variabilidade. Dividir por garante que o estimador de variância seja não viesado (esperança igual a ). - Mentalize: “gastei 1 grau de liberdade ao estimar a média, sobram
para estimar a variância”.
Resposta
A média populacional
e o desvio padrão populacional
são parâmetros verdadeiros da população; a média amostral
e o desvio padrão amostral
são estimadores calculados da amostra, com
Dividimos por
no cálculo da variância amostral (Bessel’s correction) porque a média amostral já foi usada como estimativa de
, consumindo um grau de liberdade; a derivação mostra que
ou seja, dividir por
torna o estimador da variância não viesado.