Um laboratório químico produz um composto químico em larga escala e monitora a concentração de impurezas em suas amostras. A concentração de impurezas segue uma distribuição normal com uma média de 20 ppm (partes por milhão) e um desvio padrão de 3 ppm . O departamento de controle de qualidade estabeleceu um limite máximo de 23 ppm para aceitar uma amostra. Qual é a probabilidade de uma amostra escolhida aleatoriamente ter uma concentração de impurezas superior a 23 ppm ? Use a distribuição normal para calcular essa probabilidade e explique o processo.
Passo 1
Enunciado resumido e dados fornecidos:
- A concentração de impurezas em amostras é uma variável aleatória com distribuição normal cuja média é
ppm e desvio padrão ppm. - O limite máximo aceitável definido pelo controle de qualidade é
ppm. - Pergunta: qual é a probabilidade de uma amostra escolhida aleatoriamente ter concentração superior a
ppm? Ou seja, calcular .
Passo 2
Entender o que significa “distribuição normal” e o que se pede:
- A variável aleatória
que mede concentração tem distribuição normal com média e desvio padrão . Escrevemos isso como . - Aqui,
é o valor médio esperado (a “posição” do pico da curva) e mede a dispersão (o quanto os valores se espalham em torno da média). - Queremos a probabilidade da cauda direita além de
, ou seja : área sob a curva normal à direita de .
Passo 3
Padrão de resolução: transformar (padronizar) para a normal padrão.
- A normal padrão é a normal com média
e desvio padrão . Denotamos por essa variável: . - Para transformar qualquer
em , usamos a fórmula de padronização:
- Nesta fórmula,
é a variável original, é a média e é o desvio padrão. O objetivo é reduzir o problema para consultar tabelas ou valores conhecidos da normal padrão.
Passo 4
Aplicar a padronização ao ponto
:
- Substituímos
e na fórmula:
- Calculemos passo a passo:
- Assim obtemos
. Ou seja,
Passo 5
Calcular
usando propriedades da normal padrão:
- A função de distribuição acumulada da normal padrão é geralmente escrita
. - Portanto
. - A partir de tabela da normal padrão ou de valores conhecidos, temos
. (Esse é um valor padrão que aparece nas tabelas; significa que cerca de da distribuição fica à esquerda de .) - Então
Passo 6
Interpretação e checagem intuitiva:
- Em termos percentuais,
corresponde a . - Uma verificação rápida via regra empírica (regra 68–95–99,7): aproximadamente
dos valores caem dentro de da média, então cerca de estão fora; metade disso (a cauda direita) é cerca de . Nosso resultado está coerente com essa intuição.
Passo 7
Como obter o valor
na prova sem calculadora:
- Você pode usar tabela da normal padrão (procure
). - Ou lembrar a aproximação comum
. - Se só precisar de uma estimativa rápida, usar a regra 68–95–99,7 já dá um valor aproximado de
para a cauda além de .