Um laboratório químico produz um composto químico em larga escala e monitora a concentração de impurezas em suas amostras. A concentração de impurezas segue uma distribuição normal com uma média de 20 ppm (partes por milhão) e um desvio padrão de 3 ppm . O departamento de controle de qualidade estabeleceu um limite máximo de 23 ppm para aceitar uma amostra. Qual é a probabilidade de uma amostra escolhida aleatoriamente ter uma concentração de impurezas superior a 23 ppm ? Use a distribuição normal para calcular essa probabilidade e explique o processo.

Passo 1

Enunciado resumido e dados fornecidos:
  • A concentração de impurezas em amostras é uma variável aleatória com distribuição normal cuja média é \mu = 20 ppm e desvio padrão \sigma = 3 ppm.
  • O limite máximo aceitável definido pelo controle de qualidade é 23 ppm.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de uma amostra escolhida aleatoriamente ter concentração superior a 23 ppm? Ou seja, calcular P(X>23).

Passo 2

Entender o que significa “distribuição normal” e o que se pede:
  • A variável aleatória X que mede concentração tem distribuição normal com média \mu e desvio padrão \sigma. Escrevemos isso como X \sim N(\mu,\sigma^2).
  • Aqui, \mu é o valor médio esperado (a “posição” do pico da curva) e \sigma mede a dispersão (o quanto os valores se espalham em torno da média).
  • Queremos a probabilidade da cauda direita além de 23, ou seja P(X>23): área sob a curva normal à direita de 23.

Passo 3

Padrão de resolução: transformar (padronizar) para a normal padrão.
  • A normal padrão é a normal com média 0 e desvio padrão 1. Denotamos por Z essa variável: Z \sim N(0,1).
  • Para transformar qualquer X\sim N(\mu,\sigma^2) em Z, usamos a fórmula de padronização:
Z = \frac{X-\mu}{\sigma}.
  • Nesta fórmula, X é a variável original, \mu é a média e \sigma é o desvio padrão. O objetivo é reduzir o problema para consultar tabelas ou valores conhecidos da normal padrão.

Passo 4

Aplicar a padronização ao ponto X=23:
  • Substituímos \mu=20 e \sigma=3 na fórmula:
z = \frac{23-20}{3}.
  • Calculemos passo a passo:
23-20 = 3,
\frac{3}{3} = 1.
  • Assim obtemos z = 1. Ou seja,
P(X>23) = P\!\left(Z>1\right).

Passo 5

Calcular P(Z>1) usando propriedades da normal padrão:
  • A função de distribuição acumulada da normal padrão é geralmente escrita \Phi(z)=P(Z\le z).
  • Portanto P(Z>1)=1-\Phi(1).
  • A partir de tabela da normal padrão ou de valores conhecidos, temos \Phi(1)\approx 0,8413. (Esse é um valor padrão que aparece nas tabelas; significa que cerca de 84,13\% da distribuição fica à esquerda de z=1.)
  • Então
P(Z>1)=1-0,8413=0,1587.

Passo 6

Interpretação e checagem intuitiva:
  • Em termos percentuais, 0,1587 corresponde a 15,87\%.
  • Uma verificação rápida via regra empírica (regra 68–95–99,7): aproximadamente 68\% dos valores caem dentro de \pm 1\sigma da média, então cerca de 32\% estão fora; metade disso (a cauda direita) é cerca de 16\%. Nosso resultado 15,87\% está coerente com essa intuição.

Passo 7

Como obter o valor \Phi(1) na prova sem calculadora:
  • Você pode usar tabela da normal padrão (procure z=1,00).
  • Ou lembrar a aproximação comum \Phi(1)\approx 0,8413.
  • Se só precisar de uma estimativa rápida, usar a regra 68–95–99,7 já dá um valor aproximado de 16\% para a cauda além de +1\sigma.

Resposta

P(X>23)=0,1587
15,87\%

Exercícios relacionados