Qual a diferença dos operadores * e ** quando utilizados entre duas matrizes?

Passo 1

O que você perguntou: “Qual a diferença dos operadores * e ** quando utilizados entre duas matrizes?”\n
Informações/assunções relevantes que vou usar (não pedi nada adicional):
  • A pergunta está ambígua quanto ao ambiente (matemática pura, MATLAB/Octave, Python/NumPy, etc.). Vou cobrir os contextos mais comuns e úteis para quem estuda exatas.
  • Vou explicar:
    • o que é multiplicação matricial (a operação que muitas vezes se escreve com * em notação matemática ou em algumas linguagens),
    • o que é multiplicação elemento a elemento (Hadamard),
    • o que significa “potência” de matriz,
    • como * e ** costumam ser interpretados em MATLAB/Octave e em Python/NumPy (os casos práticos mais frequentes).
  • Não vou pedir mais dados: apresentarei definições, regras de dimensão, exemplos numéricos e dicas de escolha.

Passo 2

Definição e regra da multiplicação matricial (o que muitas vezes se quer ao falar de “multiplicar matrizes”):
  • Se A é uma matriz de tamanho m\times n e B é uma matriz de tamanho n\times p, então a multiplicação matricial A B é definida e resulta numa matriz C de tamanho m\times p.
  • Cada elemento de C é dado por
c_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj}.
  • Observações importantes:
    • As “dimensões internas” devem casar: o número de colunas de A tem que ser igual ao número de linhas de B.
    • A multiplicação matricial geralmente NÃO é comutativa: em geral A B \neq B A.
  • Exemplo numérico (muito concreto):
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}5 & 6 \\[4pt] 7 & 8\end{pmatrix}.
Calculemos A B pela fórmula:
A B=\begin{pmatrix} 1\cdot5+2\cdot7 & 1\cdot6+2\cdot8 \\[4pt] 3\cdot5+4\cdot7 & 3\cdot6+4\cdot8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}19 & 22 \\[4pt] 43 & 50\end{pmatrix}.]

Passo 3

Definição do produto elemento a elemento (Hadamard) — operação diferente de multiplicação matricial:
  • Se A e B têm exatamente o mesmo tamanho m\times n, o produto elemento a elemento A\circ B (ou simplesmente “multiplicação elemento a elemento”) é a matriz C com
c_{ij}=a_{ij}\,b_{ij}.
  • Propriedades: é comutativo ( A\circ B=B\circ A) e não exige a condição de “colunas iguais às linhas” — apenas igualdade de formas.
  • Exemplo com as mesmas A e B do passo anterior:
A\circ B= \begin{pmatrix} 1\cdot5 & 2\cdot6 \\[4pt] 3\cdot7 & 4\cdot8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 & 12 \\[4pt] 21 & 32\end{pmatrix}.]

Passo 4

Potência de matriz (o que A^k significa) — conceito relacionado ao operador de exponenciação:
  • Para uma matriz quadrada A (tamanho n\times n), a potência inteira positiva A^k é a multiplicação matricial repetida:
A^2 = A\cdot A, \qquad A^3 = A\cdot A\cdot A,\quad\text{etc.}
  • Condição: só faz sentido (diretamente) para matrizes quadradas quando se fala em potência inteira.
  • Exemplo com A do passo 2:
A^2 = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}7 & 10 \\[4pt] 15 & 22\end{pmatrix}.]

Passo 5

Como as linguagens/ bibliotecas mais comuns tratam * e ** (resumo prático para programar e para provas aplicadas):
  • MATLAB / Octave:
    • * é multiplicação matricial (produto linear) — exige dimensões compatíveis.
    • .* é multiplicação elemento a elemento (Hadamard).
    • ^ é potência matricial (só para matrizes quadradas, por exemplo A^3).
    • .^ é potência elemento a elemento (eleva cada entrada).
    • Conclusão: em MATLAB, o operador de dois asteriscos ** não é usado para exponenciação — usa-se ^ e o ponto para versão elemento a elemento.
  • Python com NumPy (tipo mais usado: \texttt{numpy.ndarray}):
    • * entre dois \texttt{ndarray} faz multiplicação elemento a elemento (Hadamard), com regras de broadcasting.
    • Para multiplicação matricial linear usa-se o operador @ ou a função \texttt{np.dot} / \texttt{np.matmul}.
    • ** entre arrays faz potência elemento a elemento (equivalente a \texttt{np.power}).
    • Observação: existe o tipo \texttt{numpy.matrix} (menos recomendado/obsoleto): nele * faz multiplicação matricial e ** com um inteiro faz potência matricial; por isso muita confusão surge — preferir \texttt{ndarray} e usar @ para produto matricial.
    • Exemplos concretos com nossas matrizes (assumindo \texttt{ndarray}):
      • A * B dá o Hadamard \begin{pmatrix}5&12\\\ 21&32\end{pmatrix}.
      • A @ B (ou \texttt{np.dot(A,B)}) dá o produto matricial \begin{pmatrix}19&22\\\ 43&50\end{pmatrix}.
      • A ** B faz potência elemento a elemento, produzindo \begin{pmatrix}1^{5} & 2^{6} \\[4pt] 3^{7} & 4^{8}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 64 \\[4pt] 2187 & 65536\end{pmatrix}.]

Passo 6

Regras práticas e dicas para a prova (ou para programar sem erro):
  • Pergunte-se qual operação matemática você quer:
    • Composição de transformações lineares / produto de matrizes no sentido da álgebra linear? Use multiplicação matricial.
    • Multiplicar entrada a entrada (por exemplo aplicar pesos elemento a elemento, Hadamard)? Use multiplicação elemento a elemento.
    • Elevar uma matriz a uma potência inteira? Use a potência matricial (só para quadradas).
  • Em códigos, saiba a convenção da linguagem/biblioteca:
    • MATLAB: * = matricial; .* = elemento a elemento; ^ = potência matricial; .^ = potência elemento a elemento.
    • NumPy (ndarray): * = elemento a elemento; @ = matricial; ** = potência elemento a elemento. Para potência matricial use \texttt{np.linalg.matrix_power(A,k)}.
  • Verifique dimensões antes de aplicar: produto matricial exige colunas de A = linhas de B; Hadamard exige mesmas formas (ou formas compatíveis por broadcasting).
  • Cuidado com tipos: evitar \texttt{numpy.matrix} para não misturar sem querer semânticas diferentes.

Passo 7

Resumo conceitual rápido (para ficar na cabeça)
  • Multiplicação matricial: operação linear definida por c_{ij}=\sum_k a_{ik}b_{kj}, não comutativa em geral.
  • Produto elemento a elemento (Hadamard): c_{ij}=a_{ij}b_{ij}, comutativo.
  • Potência de matriz: repetição do produto matricial para matrizes quadradas.
  • Em código: o símbolo textual * e ** podem representar coisas diferentes conforme a linguagem; leia a documentação (MATLAB vs NumPy têm convenções distintas).

Resposta

Em matemática pura, * normalmente denota multiplicação matricial (produto linear) e ** não é uma notação padrão.
Em MATLAB/Octave: * = multiplicação matricial, .* = multiplicação elemento a elemento, ^ = potência matricial, .^ = potência elemento a elemento.
Em Python/NumPy ( \texttt{ndarray}): * = multiplicação elemento a elemento (Hadamard), @ ou \texttt{np.dot} = multiplicação matricial, e ** = potência elemento a elemento; em \texttt{numpy.matrix} (menos usado) * é matricial e ** com inteiro faz potência matricial.

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