A função cosseno pode ser representada através de uma série definida como:
Calcule uma aproximação do cosseno de
através da série acima, usando 3 termos (
de zero a 3) e 8 termos (
de zero a 8), e compare ambos os resultados com a função cosseno pré-definida do Octave. (Dica: use o comando for, crie uma variável com valor 0 antes do for para guardar a soma, e atualize essa variável a cada iteração somando o valor da parcela atual)
Passo 1
O enunciado pede para aproximar
usando a série de Taylor (desenvolvimento em torno de
)
fazendo duas somas truncadas: uma com
indo de
a
e outra com
indo de
a
. Depois devo comparar esses dois resultados com o valor calculado pelo comando pré-definido do Octave para
.
Informações dadas:
- Série de potências para
: - Ponto onde avaliar:
O que vou entregar:
- Cálculo passo a passo das parcelas e somas para
e ; - Código/estratégia prática (for) para implementar no Octave;
- Comparação numérica com
do Octave.
Passo 2
Breve explicação da série e do termo geral (para entender na prova).
- A série de Taylor de
em torno de (maclaurin) é
Aqui:
-
é o índice da soma (inteiro não-negativo); -
é o fatorial de ; -
são potências pares de ; - O sinal alterna por causa de
. - A série converge para todo
real (ou complexo); para pequeno, poucos termos já dão boa aproximação. - Para calcular na prova sem ficar recomputando potências e fatoriais do zero a cada termo, é conveniente usar uma relação de recorrência entre termos consecutivos da série (explico no próximo passo).
Passo 3
Derivar e explicar a relação de recorrência útil para somar a série eficientemente.
- Denotemos a parcela de índice
por
- A relação entre
e é:
Explicação: ao passar de
para
multiplica-se por
porque
e
, e o
.
- Vantagem prática: começar com
e gerar cada parcela multiplicando a parcela anterior por esse fator; assim evita-se calcular potências e fatoriais grandes diretamente. Esse método é estável e fácil de implementar num loop (for).
Passo 4
Escolher
e calcular
(valor que aparece sempre na recorrência).
-
. -
Vou usar esse valor numérico para calcular as parcelas via recorrência.
Passo 5
Calcular as parcelas e somas para
até
(soma truncada com índices
).
- Inicialização:
-
. - Soma parcial
.
-
- Agora uso a recorrência
.
Cálculo passo a passo (com
):
-
: Soma. -
: Soma. -
: Soma. -
: Soma
Conclusão parcial: a soma dos termos com
é
Passo 6
Calcular as parcelas e soma até
(ou seja,
), continuando a partir de
.
Já tenho e
. Continuo a recorrência:
Já tenho
-
: Soma. -
: Soma. -
: Soma. -
: Soma. -
: Soma(a diferença do termo é insignificante ao mostrado número de casas).
Portanto a soma com
é
Observação sobre convergência: os termos são alternados e decrescem rapidamente; já em
o acréscimo foi da ordem
e a contribuição total dos termos além de
é menor que
neste ponto.
Passo 7
Comparação com o valor do Octave e cálculo de erro absoluto.
- O valor “verdadeiro” calculado pelo Octave (função pré-definida) é
- Erros absolutos (diferença entre
e as aproximações): - Para
: erro . - Para
: erro .
- Para
Passo 8
Sugestão prática de código Octave (exemplo) para calcular essas somas com um for (como foi pedido no enunciado):
Em Octave/MATLAB, uma implementação direta usando a recorrência é:
Em Octave/MATLAB, uma implementação direta usando a recorrência é:
Para a soma até
basta trocar com
, acumula em
for n=0:8 por for n=0:3. O código inicializa a parcela
S e atualiza a pela relação de recorrência.