A função cosseno pode ser representada através de uma série definida como:
\cos (x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n)!} x^{2 n}=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\ldots
Calcule uma aproximação do cosseno de \frac{\pi}{3} através da série acima, usando 3 termos ( n de zero a 3) e 8 termos ( n de zero a 8), e compare ambos os resultados com a função cosseno pré-definida do Octave. (Dica: use o comando for, crie uma variável com valor 0 antes do for para guardar a soma, e atualize essa variável a cada iteração somando o valor da parcela atual)

Passo 1

O enunciado pede para aproximar \cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) usando a série de Taylor (desenvolvimento em torno de 0)
\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n},
fazendo duas somas truncadas: uma com n indo de 0 a 3 e outra com n indo de 0 a 8. Depois devo comparar esses dois resultados com o valor calculado pelo comando pré-definido do Octave para \cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right).
Informações dadas:
  • Série de potências para \cos(x): \displaystyle \cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}.
  • Ponto onde avaliar: x=\dfrac{\pi}{3}.
O que vou entregar:
  • Cálculo passo a passo das parcelas e somas para n=0\ldots3 e n=0\ldots8;
  • Código/estratégia prática (for) para implementar no Octave;
  • Comparação numérica com \cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) do Octave.

Passo 2

Breve explicação da série e do termo geral (para entender na prova).
  • A série de Taylor de \cos(x) em torno de 0 (maclaurin) é
\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}.
Aqui:
  • n é o índice da soma (inteiro não-negativo);
  • (2n)! é o fatorial de 2n;
  • x^{2n} são potências pares de x;
  • O sinal alterna por causa de (-1)^n.
  • A série converge para todo x real (ou complexo); para x pequeno, poucos termos já dão boa aproximação.
  • Para calcular na prova sem ficar recomputando potências e fatoriais do zero a cada termo, é conveniente usar uma relação de recorrência entre termos consecutivos da série (explico no próximo passo).

Passo 3

Derivar e explicar a relação de recorrência útil para somar a série eficientemente.
  • Denotemos a parcela de índice n por
a_n=\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}.
  • A relação entre a_{n+1} e a_n é:
a_{n+1}=a_n\cdot\left(\frac{(-1)x^2}{(2n+1)(2n+2)}\right).
Explicação: ao passar de n para n+1 multiplica-se por \dfrac{(-1)x^2}{(2n+1)(2n+2)} porque x^{2(n+1)}=x^{2n}\cdot x^2 e (2(n+1))!=(2n+2)!=(2n+2)(2n+1)(2n)!, e o (-1)^{n+1}=(-1)^n\cdot(-1).
  • Vantagem prática: começar com a_0=1 e gerar cada parcela multiplicando a parcela anterior por esse fator; assim evita-se calcular potências e fatoriais grandes diretamente. Esse método é estável e fácil de implementar num loop (for).

Passo 4

Escolher x=\dfrac{\pi}{3} e calcular x^2 (valor que aparece sempre na recorrência).
  • x=\dfrac{\pi}{3}.
  • x^2=\left(\frac{\pi}{3}\right)^2=\frac{\pi^2}{9}\approx 1,096622711232151.
Vou usar esse valor numérico para calcular as parcelas via recorrência.

Passo 5

Calcular as parcelas e somas para n=0 até n=3 (soma truncada com índices 0,1,2,3).
  • Inicialização:
    • a_0=1.
    • Soma parcial S_0=a_0=1.
  • Agora uso a recorrência a_{n+1}=a_n\cdot\bigl(-x^2/((2n+1)(2n+2))\bigr).
Cálculo passo a passo (com x^2\approx 1,096622711232151):
  • n=0:
    a_0=1.
    Soma S_0=1.
  • n=1:
    a_1=a_0\cdot\left(-\frac{x^2}{1\cdot2}\right)=-\frac{x^2}{2}=-\frac{\pi^2}{18}\approx -0,5483113556160755.
    Soma S_1=1-0,5483113556160755=0,4516886443839245.
  • n=2:
    a_2=a_1\cdot\left(-\frac{x^2}{3\cdot4}\right)\approx 0,05008570429831643.
    Soma S_2=0,4516886443839245+0,05008570429831643=0,5017743486822409.
  • n=3:
    a_3=a_2\cdot\left(-\frac{x^2}{5\cdot6}\right)\approx -0,001831518682241596.
    Soma S_3=0,5017743486822409-0,001831518682241596\approx 0,4999428300000.
Conclusão parcial: a soma dos termos com n=0\ldots3 é
S_{0..3}\approx 0,4999428300000.

Passo 6

Calcular as parcelas e soma até n=8 (ou seja, n=0,1,\dots,8), continuando a partir de a_3.
Já tenho a_3 e S_3. Continuo a recorrência:
  • n=4:
    a_4=a_3\cdot\left(-\frac{x^2}{7\cdot8}\right)\approx +0,000035872994037\!.
    Soma S_4\approx 0,499978702994037.
  • n=5:
    a_5=a_4\cdot\left(-\frac{x^2}{9\cdot10}\right)\approx -0,0000004370044668.
    Soma S_5\approx 0,4999782659895705.
  • n=6:
    a_6=a_5\cdot\left(-\frac{x^2}{11\cdot12}\right)\approx +0,0000000036308740.
    Soma S_6\approx 0,4999782659932004.
  • n=7:
    a_7=a_6\cdot\left(-\frac{x^2}{13\cdot14}\right)\approx -0,000000000021889\!.
    Soma S_7\approx 0,4999782659931785.
  • n=8:
    a_8=a_7\cdot\left(-\frac{x^2}{15\cdot16}\right)\approx +0,000000000000100\!.
    Soma S_8\approx 0,4999782659931795 (a diferença do termo a_8 é insignificante ao mostrado número de casas).
Portanto a soma com n=0\ldots8 é
S_{0..8}\approx 0,4999782659931795.
Observação sobre convergência: os termos são alternados e decrescem rapidamente; já em n=4 o acréscimo foi da ordem 3{,}6\times10^{-5} e a contribuição total dos termos além de n=8 é menor que 10^{-10} neste ponto.

Passo 7

Comparação com o valor do Octave e cálculo de erro absoluto.
  • O valor “verdadeiro” calculado pelo Octave (função pré-definida) é
\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=0,5.
  • Erros absolutos (diferença entre 0,5 e as aproximações):
    • Para n=0\ldots3: erro =0,5-0,4999428300000\approx 0,00005717 \;=\;5,717\times10^{-5}.
    • Para n=0\ldots8: erro =0,5-0,4999782659931795\approx 0,0000217340068205\;=\;2,17340068205\times10^{-5}.

Passo 8

Sugestão prática de código Octave (exemplo) para calcular essas somas com um for (como foi pedido no enunciado):
Em Octave/MATLAB, uma implementação direta usando a recorrência é:
\begin{array}{l} x = \pi/3;\\\ x2 = x^2;\\\ S = 0;\\\ a = 1;\\\ \text{for } n=0:8\\\ \quad S = S + a;\\\ \quad a = a*(-x2)/((2*n+1)*(2*n+2));\\\ \text{end}\\\ \text{disp(S)} \end{array}
Para a soma até n=3 basta trocar for n=0:8 por for n=0:3. O código inicializa a parcela a com a_0=1, acumula em S e atualiza a pela relação de recorrência.

Resposta

\text{Aproximação (n=0..3)} = 0,4999428300000 \quad (\text{erro absoluto em relação a }0,5 \approx 5,717\times10^{-5})çãçã
\text{Aproximação (n=0..8)} = 0,4999782659931795 \quad (\text{erro absoluto em relação a }0,5 \approx 2,17340068205\times10^{-5})çãçã
\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\_\text{Octave} = 0,5

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