Como a diferença de potencial elétrico
\varepsilon está relacionada com o campo magnético
\vec{B} que a produz?

Passo 1

O enunciado pergunta como a diferença de potencial elétrico induzida, que chamamos de \varepsilon, se relaciona com o campo magnético \vec{B} que a gera. O conteúdo aqui é a Lei de Faraday da indução eletromagnética, que nos diz como variações no fluxo magnético criam uma força eletromotriz (f.e.m.).

Passo 2

Primeiro, vamos definir a força eletromotriz ou diferença de potencial induzida \varepsilon. Ela é dada pela integral de linha do campo elétrico \vec{E} ao redor de um contorno fechado C:
\varepsilon = \oint_C \vec{E}\cdot d\vec{\ell}.

Passo 3

Em seguida, introduzimos o fluxo magnético \Phi_B através de uma superfície S limitada por C. Esse fluxo é
\Phi_B = \int_S \vec{B}\cdot d\vec{A},
onde d\vec{A} é o vetor área orientado segundo a regra da mão direita em relação à curva C.

Passo 4

A Lei de Faraday relaciona a f.e.m. induzida \varepsilon à taxa de variação temporal do fluxo magnético \Phi_B. Em forma integral, ela diz:
\varepsilon = -\,\frac{d\Phi_B}{dt}.
O sinal negativo expressa a Regra de Lenz, indicando que a corrente induzida cria um campo magnético que se opõe à variação de \Phi_B.

Passo 5

Podemos também escrever a forma diferencial — uma das equações de Maxwell — que liga o rotacional de \vec{E} à taxa de variação de \vec{B}:
\nabla \times \vec{E} = -\,\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}.
Esse modo mostra localmente como uma variação de \vec{B} induz um campo elétrico não conservativo, responsável pela \varepsilon.

Resposta

\varepsilon = \oint_C \vec{E}\cdot d\vec{\ell} = -\,\frac{d}{dt}\!\int_S \vec{B}\cdot d\vec{A},
ou, em forma local,
\nabla \times \vec{E} = -\,\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}.

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