Diferencie claramente:
a) limite quando a variável tende ao infinito (por exemplo,
);
b) limite que tende ao infinito (por exemplo,
);
c) assíntota horizontal.
Forneça um exemplo para cada item.
a) limite quando a variável tende ao infinito (por exemplo,
b) limite que tende ao infinito (por exemplo,
c) assíntota horizontal.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Diferenciar claramente três conceitos:
a) limite quando a variável tende ao infinito (por exemplo,);
b) limite que tende ao infinito (por exemplo,);
c) assíntota horizontal. - Para cada item, dar um exemplo e explicar por que o exemplo ilustra o conceito.
Informações relevantes (o que vou usar): definições precisas de limite, exemplos concretos e pequenas demonstrações/contas de limites para justificar os exemplos.
Passo 2
Definição e explicação do item (a): limite quando a variável tende ao infinito.
-
Intuição simples: dizer que
significa que, ao olhar a função para valores de cada vez maiores (para a direita na reta), os valores de ficam cada vez mais próximos de um número real . -
Definição formal (estilo
- , que é útil para provas e compreensão precisa):
significa que para todo
existe
tal que, se
, então
.
Aqui: é “quão perto queremos chegar” de
;
é a abscissa além da qual
fica nessa proximidade.
Aqui:
-
Observação importante: neste tipo de limite o ponto onde a variável se aproxima é o infinito; o valor limite
é um número real (finito). Se o limite existir e for finito, diz-se que a função tem um valor de fim à direita. -
Exemplo concreto e passo a passo: mostrar que
Porquê (intuição): quando
cresce,
fica pequeno e tende a zero.
Rigor em poucas contas (para ver como provar numa prova sem calculadora):
Dado , escolha
. Se
então
e, dividindo,
Dado
Logo
. Isso prova a definição formal. Conclusão: o limite vale
.
Passo 3
Definição e explicação do item (b): limite que tende ao infinito (explosão em um ponto).
- Intuição simples: afirmar que
significa que, quando
se aproxima de
(por ambos os lados ou por um lado, conforme o caso), os valores de
crescem sem limite — isto é, tornam-se arbitrariamente grandes, não convergem para um número real.
- Definição formal (para
):
significa que para todo
existe
tal que, se
, então
.
Aqui: é “o quão grande queremos que
fique”;
é a distância do
onde esta grandeza ocorre.
Aqui:
-
Interpretação geométrica: essa situação geralmente está ligada a uma assíntota vertical em
. Dizer que o limite é não é atribuir um valor real, e sim afirmar que a função diverge positivamente ao aproximar-se do ponto. -
Exemplo concreto e passo a passo: tomar
Ao aproximar
de
, o denominador
tende a
e sempre é positivo, portanto
cresce sem limite. Formalmente, dado
escolha
. Se
então
e assim
Logo
.
- Observação: esse tipo de limite indica que
é uma assíntota vertical da função.
Passo 4
Definição e explicação do item (c): assíntota horizontal.
-
Intuição simples: uma assíntota horizontal é uma reta do tipo
tal que, quando vai para ou para , a função se aproxima de . Ou seja, longe para a direita ou para a esquerda a curva “se aproxima” de uma linha horizontal. -
Definição precisa: a reta
é uma assíntota horizontal de se pelo menos uma das seguintes condições vale:
Note que a existência de uma assíntota horizontal exige um limite finito quando
ou
.
-
Observação importante: ter uma assíntota horizontal não impede que a função cruze essa reta várias vezes; é apenas comportamento para
muito grande (em módulo). -
Exemplo concreto e passo a passo: tomar a função racional
Calcular
. Técnica prática (dividir numerador e denominador por
):
Quando
temos
e
. Portanto
Conclusão:
é uma assíntota horizontal para
. (Pode-se também verificar o limite para
; neste caso também dá
, então a mesma reta é assíntota para ambos os lados.)
- Exemplo adicional ilustrativo:
. Assim é assíntota horizontal; observe que oscila, mas as oscilações têm amplitude que tende a zero.
Passo 5
Comparação direta e maneira prática de reconhecer cada caso (resumo para usar na prova):
-
Diferença conceitual:
- (a)
fala do comportamento da função quando a variável vai para o infinito; o foco é o ponto de aproximação (infinito) e o limite é um número real . - (b)
fala do comportamento da função quando se aproxima de um número real ; nesse caso os valores de divergem para (ou ). O foco é a explosão perto de um ponto finito. - (c) assíntota horizontal é uma consequência do item (a): se
(ou para ), então a reta é assíntota horizontal.
- (a)
-
Como identificar rápido:
- Para (a)/(c): calcule os limites quando
. Se der um número , então (a) o limite existe e vale ; e (c) é assíntota horizontal (ao menos de um lado). - Para (b): procure pontos onde o denominador de uma racional zera (ou onde a função explode). Teste se, ao aproximar desse ponto, os valores ficam arbitrariamente grandes em módulo. Se sim, é limite infinito → assíntota vertical possível.
- Para (a)/(c): calcule os limites quando
Passo 6
Dicas de memorização e ânimo:
- Lembre: “limite quando x→∞” = olhar para a cauda da curva; “limite que tende a ∞” = explosão perto de um ponto; “assíntota horizontal” = reta que a curva caça quando vai para longe.
- Você está indo bem; na prova faça primeiro o que for limite em infinito (são mecânicos) e reserve tempo para pontos singulares (onde pode ocorrer limite infinito).
Resposta
a)
é o valor real
que
aproxima quando
cresce sem limite. Exemplo:
b)
significa que, ao aproximar
de um ponto finito
, os valores
crescem sem limite (divergem para
). Exemplo:
c) Assíntota horizontal é a reta
tal que
ou
. Exemplo: para
tem-se
, logo
é assíntota horizontal.