Diferencie claramente:
a) limite quando a variável tende ao infinito (por exemplo, \lim _{x \rightarrow \infty} f(x) );
b) limite que tende ao infinito (por exemplo, \lim _{x \rightarrow a} f(x)=\infty );
c) assíntota horizontal.
Forneça um exemplo para cada item.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Diferenciar claramente três conceitos:
    a) limite quando a variável tende ao infinito (por exemplo, \lim_{x\to\infty} f(x));
    b) limite que tende ao infinito (por exemplo, \lim_{x\to a} f(x)=\infty);
    c) assíntota horizontal.
  • Para cada item, dar um exemplo e explicar por que o exemplo ilustra o conceito.
Informações relevantes (o que vou usar): definições precisas de limite, exemplos concretos e pequenas demonstrações/contas de limites para justificar os exemplos.

Passo 2

Definição e explicação do item (a): limite quando a variável tende ao infinito.
  • Intuição simples: dizer que \lim_{x\to\infty} f(x)=L significa que, ao olhar a função para valores de x cada vez maiores (para a direita na reta), os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos de um número real L.
  • Definição formal (estilo \varepsilon- N, que é útil para provas e compreensão precisa):
\lim_{x\to\infty} f(x) = L
significa que para todo \varepsilon>0 existe N>0 tal que, se x>N, então |f(x)-L|<\varepsilon.
Aqui: \varepsilon é “quão perto queremos chegar” de L; N é a abscissa além da qual f(x) fica nessa proximidade.
  • Observação importante: neste tipo de limite o ponto onde a variável se aproxima é o infinito; o valor limite L é um número real (finito). Se o limite existir e for finito, diz-se que a função tem um valor de fim à direita.
  • Exemplo concreto e passo a passo: mostrar que
\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x} = 0.
Porquê (intuição): quando x cresce, 1/x fica pequeno e tende a zero.
Rigor em poucas contas (para ver como provar numa prova sem calculadora):
Dado \varepsilon>0, escolha N=\dfrac{1}{\varepsilon}. Se x>N então x>\dfrac{1}{\varepsilon} e, dividindo,
0<\frac{1}{x}<\varepsilon.
Logo |\tfrac{1}{x}-0|=\tfrac{1}{x}<\varepsilon. Isso prova a definição formal. Conclusão: o limite vale 0.

Passo 3

Definição e explicação do item (b): limite que tende ao infinito (explosão em um ponto).
  • Intuição simples: afirmar que
\lim_{x\to a} f(x)=\infty
significa que, quando x se aproxima de a (por ambos os lados ou por um lado, conforme o caso), os valores de f(x) crescem sem limite — isto é, tornam-se arbitrariamente grandes, não convergem para um número real.
  • Definição formal (para +\infty):
\lim_{x\to a} f(x)=\infty
significa que para todo M>0 existe \delta>0 tal que, se 0<|x-a|<\delta, então f(x)>M.
Aqui: M é “o quão grande queremos que f(x) fique”; \delta é a distância do a onde esta grandeza ocorre.
  • Interpretação geométrica: essa situação geralmente está ligada a uma assíntota vertical em x=a. Dizer que o limite é +\infty não é atribuir um valor real, e sim afirmar que a função diverge positivamente ao aproximar-se do ponto.
  • Exemplo concreto e passo a passo: tomar
f(x)=\frac{1}{(x-1)^{2}}.
Ao aproximar x de 1, o denominador (x-1)^{2} tende a 0 e sempre é positivo, portanto f(x) cresce sem limite. Formalmente, dado M>0 escolha \delta=\min\!\big(1,\tfrac{1}{\sqrt{M}}\big). Se 0<|x-1|<\delta então |x-1|<\tfrac{1}{\sqrt{M}} e assim
f(x)=\frac{1}{(x-1)^{2}}>\frac{1}{(1/\sqrt{M})^{2}}=M.
Logo \lim_{x\to 1} \tfrac{1}{(x-1)^{2}} = \infty.
  • Observação: esse tipo de limite indica que x=1 é uma assíntota vertical da função.

Passo 4

Definição e explicação do item (c): assíntota horizontal.
  • Intuição simples: uma assíntota horizontal é uma reta do tipo y=L tal que, quando x vai para +\infty ou para -\infty, a função f(x) se aproxima de L. Ou seja, longe para a direita ou para a esquerda a curva “se aproxima” de uma linha horizontal.
  • Definição precisa: a reta y=L é uma assíntota horizontal de f se pelo menos uma das seguintes condições vale:
\lim_{x\to\infty} f(x) = L \qquad\text{ou}\qquad \lim_{x\to -\infty} f(x) = L.
Note que a existência de uma assíntota horizontal exige um limite finito quando x\to\infty ou x\to -\infty.
  • Observação importante: ter uma assíntota horizontal não impede que a função cruze essa reta várias vezes; é apenas comportamento para x muito grande (em módulo).
  • Exemplo concreto e passo a passo: tomar a função racional
f(x)=\frac{2x+1}{x+3}.
Calcular \lim_{x\to\infty} f(x). Técnica prática (dividir numerador e denominador por x):
f(x)=\frac{2+\tfrac{1}{x}}{1+\tfrac{3}{x}}.
Quando x\to\infty temos \tfrac{1}{x}\to 0 e \tfrac{3}{x}\to 0. Portanto
\lim_{x\to\infty} f(x) = \frac{2+0}{1+0} = 2.
Conclusão: y=2 é uma assíntota horizontal para x\to\infty. (Pode-se também verificar o limite para x\to -\infty; neste caso também dá 2, então a mesma reta é assíntota para ambos os lados.)
  • Exemplo adicional ilustrativo: \displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{\sin x}{x} = 0. Assim y=0 é assíntota horizontal; observe que \sin x / x oscila, mas as oscilações têm amplitude que tende a zero.

Passo 5

Comparação direta e maneira prática de reconhecer cada caso (resumo para usar na prova):
  • Diferença conceitual:
    • (a) \lim_{x\to\infty} f(x)=L fala do comportamento da função quando a variável vai para o infinito; o foco é o ponto de aproximação (infinito) e o limite é um número real L.
    • (b) \lim_{x\to a} f(x)=\infty fala do comportamento da função quando x se aproxima de um número real a; nesse caso os valores de f divergem para +\infty (ou -\infty). O foco é a explosão perto de um ponto finito.
    • (c) assíntota horizontal é uma consequência do item (a): se \lim_{x\to\infty} f(x)=L (ou para -\infty), então a reta y=L é assíntota horizontal.
  • Como identificar rápido:
    • Para (a)/(c): calcule os limites quando x\to\pm\infty. Se der um número L, então (a) o limite existe e vale L; e (c) y=L é assíntota horizontal (ao menos de um lado).
    • Para (b): procure pontos onde o denominador de uma racional zera (ou onde a função explode). Teste se, ao aproximar desse ponto, os valores ficam arbitrariamente grandes em módulo. Se sim, é limite infinito → assíntota vertical possível.

Passo 6

Dicas de memorização e ânimo:
  • Lembre: “limite quando x→∞” = olhar para a cauda da curva; “limite que tende a ∞” = explosão perto de um ponto; “assíntota horizontal” = reta que a curva caça quando vai para longe.
  • Você está indo bem; na prova faça primeiro o que for limite em infinito (são mecânicos) e reserve tempo para pontos singulares (onde pode ocorrer limite infinito).

Resposta

a) \lim_{x\to\infty} f(x) é o valor real L que f(x) aproxima quando x cresce sem limite. Exemplo: \lim_{x\to\infty} \dfrac{1}{x}=0.
b) \lim_{x\to a} f(x)=\infty significa que, ao aproximar x de um ponto finito a, os valores f(x) crescem sem limite (divergem para +\infty). Exemplo: \lim_{x\to 1} \dfrac{1}{(x-1)^{2}}=\infty.
c) Assíntota horizontal é a reta y=L tal que \lim_{x\to\infty} f(x)=L ou \lim_{x\to -\infty} f(x)=L. Exemplo: para f(x)=\dfrac{2x+1}{x+3} tem-se \lim_{x\to\infty} f(x)=2, logo y=2 é assíntota horizontal.

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