Interprete geometricamente a seguinte igualdade, quando verdadeira:
Passo 1
O enunciado dá a igualdade
e pede uma interpretação geométrica quando essa igualdade for verdadeira.
Informações/elementos que aparecem no enunciado:
- A função
e um ponto do domínio onde se considera a expressão. - A variável
que representa um pequeno deslocamento horizontal a partir de . - O quociente
, que depende de . - O limite
desse quociente e o número (a derivada de em ), assumindo que o limite exista e seja finito.
O que é pedido: explicar geometricamente o significado dessa igualdade (ou seja, o que ela representa no gráfico da função).
Passo 2
Definindo e interpretando o quociente de diferença:
- Para um
, o número
é a inclinação (coeficiente angular) da reta que passa pelos dois pontos do gráfico de
Ou seja,
é a inclinação da secante ao gráfico que liga esses dois pontos.
Explicação das variáveis:
-
é o ponto de interesse no eixo . -
é o deslocamento horizontal; se pega-se um ponto à direita de , se pega-se um ponto à esquerda. -
e são as alturas (coordenadas ) desses pontos no gráfico.
A equação da secante que passa por esses pontos pode ser escrita (para
genérico) como
Passo 3
Significado do limite
:
- O limite
diz que, quando os pontos se aproximam de (isto é, quando tende a zero), as inclinações das secantes tendem a um número fixo. - Geometricamente, isso significa que as retas secantes vão “convergindo” a uma reta única quando as duas abscissas se aproximam de
.
Quando a igualdade do enunciado é verdadeira (ou seja, quando o limite existe e é igual a
), a reta limite é a reta tangente ao gráfico de
no ponto
. A inclinação dessa reta tangente é exatamente
. Portanto:
Passo 4
Intuição adicional (aproximação linear):
- Ser diferenciável em
(isto é, ter o limite igual a um número finito) significa que, para pequenos ,
- Em palavras: o gráfico de
fica muito bem aproximado por uma reta (a tangente) perto de . O erro dessa aproximação é muito menor que quando .
Esta é a razão pela qual a derivada aparece como “taxa instantânea de variação” e como “slope” (inclinação) da reta tangente.
Passo 5
Exemplo concreto — função quadrática:
- Tome
e um ponto . O quociente de diferença é
- Fazendo
obtemos . Logo .
Interpretação geométrica: as secantes entree têm inclinação e, à medida que os pontos se aproximam ( ), essas secantes convergem para a tangente em cuja inclinação é .
Passo 6
Casos em que o limite não existe (e a interpretação geométrica correspondente):
- Se as inclinações das secantes por um lado tendem a um valor e pelo outro a outro valor (por exemplo
os limites laterais são diferentes, então não existe tangente única com inclinação finita em
tendem para
(por exemplo
em
gera
), diz-se que há uma tangente vertical: geometricamente as secantes ficam cada vez mais verticais.
- Se é descontínua em
, as secantes não se aproximam de uma reta bem definida e o limite não existe.
- Se
Passo 7
Observações práticas para a prova (como aplicar a interpretação geométrica):
- Calcule o quociente
. Se conseguir simplificar para uma expressão em que têm limite finito, esse limite é a inclinação da tangente. - Verifique os limites laterais (
e ); eles devem coincidir para haver derivada. - Em uma figura, desenhe algumas secantes (para
positivos e negativos) e veja se elas parecem convergir para uma reta única; essa reta é a tangente e sua inclinação é .
Passo 8
Resumo intuitivo e motivador:
- A igualdade significa que a derivada
é o limite das inclinações das retas secantes que ligam a pontos próximos . - Geometricamente: as secantes aproximam uma única reta quando
; essa reta é a tangente ao gráfico em e sua inclinação é . - Em termos práticos: diferenciabilidade em
= existe uma reta que localmente toca o gráfico em e fornece a melhor aproximação linear.
Resposta
A igualdade significa que a inclinação das retas secantes, dadas por
, converge para um número quando
; esse número é a inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
. Em outras palavras, as secantes que ligam
a
aproximam-se de uma reta única (a tangente) cuja equação é
, e
é a taxa instantânea de variação de
em
.