Interprete geometricamente a seguinte igualdade, quando verdadeira:
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f^{\prime}(a) .

Passo 1

O enunciado dá a igualdade
\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)
e pede uma interpretação geométrica quando essa igualdade for verdadeira.
Informações/elementos que aparecem no enunciado:
  • A função f e um ponto a do domínio onde se considera a expressão.
  • A variável h que representa um pequeno deslocamento horizontal a partir de a.
  • O quociente \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}, que depende de h.
  • O limite \lim_{h\to 0} desse quociente e o número f'(a) (a derivada de f em a), assumindo que o limite exista e seja finito.
O que é pedido: explicar geometricamente o significado dessa igualdade (ou seja, o que ela representa no gráfico da função).

Passo 2

Definindo e interpretando o quociente de diferença:
  • Para um h\neq 0, o número
m_h:=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
é a inclinação (coeficiente angular) da reta que passa pelos dois pontos do gráfico de f
\bigl(a,f(a)\bigr)\quad\text{e}\quad\bigl(a+h,f(a+h)\bigr).
Ou seja, m_h é a inclinação da secante ao gráfico que liga esses dois pontos.
Explicação das variáveis:
  • a é o ponto de interesse no eixo x.
  • h é o deslocamento horizontal; se h>0 pega-se um ponto à direita de a, se h<0 pega-se um ponto à esquerda.
  • f(a) e f(a+h) são as alturas (coordenadas y) desses pontos no gráfico.
A equação da secante que passa por esses pontos pode ser escrita (para x genérico) como
y-f(a)=m_h\,(x-a).

Passo 3

Significado do limite \lim_{h\to 0} m_h:
  • O limite \lim_{h\to 0} m_h diz que, quando os pontos \bigl(a+h,f(a+h)\bigr) se aproximam de \bigl(a,f(a)\bigr) (isto é, quando h tende a zero), as inclinações das secantes m_h tendem a um número fixo.
  • Geometricamente, isso significa que as retas secantes vão “convergindo” a uma reta única quando as duas abscissas se aproximam de a.
Quando a igualdade do enunciado é verdadeira (ou seja, quando o limite existe e é igual a f'(a)), a reta limite é a reta tangente ao gráfico de f no ponto \bigl(a,f(a)\bigr). A inclinação dessa reta tangente é exatamente f'(a). Portanto:
\text{tangente em }(a,f(a)):\qquad y-f(a)=f'(a)\,(x-a).

Passo 4

Intuição adicional (aproximação linear):
  • Ser diferenciável em a (isto é, ter o limite igual a um número finito) significa que, para pequenos h,
f(a+h)\approx f(a)+f'(a)\,h.
  • Em palavras: o gráfico de f fica muito bem aproximado por uma reta (a tangente) perto de a. O erro dessa aproximação é muito menor que h quando h\to 0.
Esta é a razão pela qual a derivada aparece como “taxa instantânea de variação” e como “slope” (inclinação) da reta tangente.

Passo 5

Exemplo concreto — função quadrática:
  • Tome f(x)=x^2 e um ponto a. O quociente de diferença é
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{(a+h)^2-a^2}{h}=\frac{2ah+h^2}{h}=2a+h.
  • Fazendo h\to 0 obtemos \lim_{h\to 0}(2a+h)=2a. Logo f'(a)=2a.
    Interpretação geométrica: as secantes entre (a,a^2) e (a+h,(a+h)^2) têm inclinação 2a+h e, à medida que os pontos se aproximam ( h\to 0), essas secantes convergem para a tangente em (a,a^2) cuja inclinação é 2a.

Passo 6

Casos em que o limite não existe (e a interpretação geométrica correspondente):
  • Se as inclinações das secantes por um lado tendem a um valor e pelo outro a outro valor (por exemplo f(x)=|x|\) em \(a=0\)), então não há uma reta única que seja limite das secantes — não existe derivada em \(a\). Concretamente, para \(f(x)=|x|\) em \(a=0\): \[\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{|h|}{h}= \begin{cases} 1,&h>0,\\\\ -1,&h<0, \end{cases}
os limites laterais são diferentes, então não existe tangente única com inclinação finita em 0\] (é um canto). - Se as inclinações \(m_h tendem para \pm\infty (por exemplo f(x)=\sqrt[3]{x} em a=0 gera m_h\approx h^{-2/3}\to\infty), diz-se que há uma tangente vertical: geometricamente as secantes ficam cada vez mais verticais.
- Se f é descontínua em a, as secantes não se aproximam de uma reta bem definida e o limite não existe.

Passo 7

Observações práticas para a prova (como aplicar a interpretação geométrica):
  • Calcule o quociente \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}. Se conseguir simplificar para uma expressão em h que têm limite finito, esse limite é a inclinação da tangente.
  • Verifique os limites laterais ( h\to0^+ e h\to0^-); eles devem coincidir para haver derivada.
  • Em uma figura, desenhe algumas secantes (para h positivos e negativos) e veja se elas parecem convergir para uma reta única; essa reta é a tangente e sua inclinação é f'(a).

Passo 8

Resumo intuitivo e motivador:
  • A igualdade significa que a derivada f'(a) é o limite das inclinações das retas secantes que ligam (a,f(a)) a pontos próximos (a+h,f(a+h)).
  • Geometricamente: as secantes aproximam uma única reta quando h\to 0; essa reta é a tangente ao gráfico em (a,f(a)) e sua inclinação é f'(a).
  • Em termos práticos: diferenciabilidade em a = existe uma reta que localmente toca o gráfico em a e fornece a melhor aproximação linear.

Resposta

A igualdade significa que a inclinação das retas secantes, dadas por \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}, converge para um número quando h\to 0; esse número é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto \bigl(a,f(a)\bigr). Em outras palavras, as secantes que ligam \bigl(a,f(a)\bigr) a \bigl(a+h,f(a+h)\bigr) aproximam-se de uma reta única (a tangente) cuja equação é y-f(a)=f'(a)(x-a), e f'(a) é a taxa instantânea de variação de f em a.

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