Diferencie a fórmula de conversão ( \mathbf{X}_{\mathbf{A}} ) aplicada a processos em batelada daquela aplicada a processos contínuos.

Passo 1

O que o enunciado pede: diferenciar a fórmula de conversão \mathbf{X}_{\mathbf{A}} quando aplicada a processos em batelada e quando aplicada a processos contínuos.
Informações relevantes (variáveis que vou usar e o que significam):
  • N_{A0}: moles iniciais de A em um reator batelada.
  • N_{A}: moles de A no instante considerado no batelada.
  • F_{A0}: fluxo molar de entrada de A (mol/s) em um processo contínuo.
  • F_{A}: fluxo molar de saída de A (mol/s) no regime estacionário.
  • C_{A0}: concentração inicial de A ( \text{mol}/\text{L}).
  • C_{A}: concentração de A no instante considerado ou na saída ( \text{mol}/\text{L}).
  • V: volume do reator ( \text{L} ou \text{m}^3).
  • r_{A}: velocidade de reação por volume (tipicamente negativa para consumo de A; unidades \text{mol}/(\text{L}\cdot\text{s})).
  • t: tempo (s).
  • \tau: tempo de residência ( \tau = V/q_0, com q_0 vazão volumétrica).
O que vou entregar: definição de \mathbf{X}_{\mathbf{A}} em cada caso, as fórmulas de balanço que levam à conversão, e exemplos simples (ordem 1) para ilustrar como as fórmulas ficam.

Passo 2

Definição física e forma universal da conversão:
  • Conversão é a fração do reagente-limite que foi consumida. Em termos gerais:
\mathbf{X}_{\mathbf{A}}=\frac{\text{moles consumidos de }A}{\text{moles iniciais de }A}.
Duas representações úteis, conforme o tipo de processo:
  • Em batelada (usando moles): \displaystyle \mathbf{X}_{\mathbf{A}}=\frac{N_{A0}-N_A}{N_{A0}}.
  • Em contínuo (usando fluxos): \displaystyle \mathbf{X}_{\mathbf{A}}=\frac{F_{A0}-F_A}{F_{A0}}.
Explicação simples: em batelada não há entrada/saída contínua, então compara-se moles iniciais com moles no tempo t. Em contínuo com regime estacionário, moles são medidas por fluxos (mol/s), então compara-se fluxo de entrada com fluxo de saída.

Passo 3

Balanço de matéria para reator batelada — derivação prática para usar na prova:
  • Balanço molar geral (volume constante, reação homogênea):
\frac{dN_A}{dt}=V\,r_A.
  • Relacione N_A com a conversão: N_A=N_{A0}(1-\mathbf{X}_{\mathbf{A}}).
  • Diferenciando:
\frac{dN_A}{dt}=-N_{A0}\,\frac{d\mathbf{X}_{\mathbf{A}}}{dt}.
  • Substituindo no balanço:
-\,N_{A0}\,\frac{d\mathbf{X}_{\mathbf{A}}}{dt}=V\,r_A.
  • Isolando \dfrac{d\mathbf{X}_{\mathbf{A}}}{dt}:
\frac{d\mathbf{X}_{\mathbf{A}}}{dt}=-\frac{V\,r_A}{N_{A0}}.
  • Forma integrada útil para provas (tempo necessário para atingir \mathbf{X}_{\mathbf{A}}):
t=\frac{N_{A0}}{V}\int_{0}^{\mathbf{X}_{\mathbf{A}}}\frac{dX}{-r_A}.
Observações de prova: r_A deve ser escrito em função de X (por exemplo via C_A) antes de integrar; se volume constante e C_A=N_A/V, então C_A=C_{A0}(1-\mathbf{X}_{\mathbf{A}}).

Passo 4

Balanço de matéria para reatores contínuos em regime estacionário — CSTR e PFR (derivações essenciais):
  • Balanço global em regime estacionário (fluxos mol/s):
F_{A0}-F_A+V\,r_A=0.
  • Usando \mathbf{X}_{\mathbf{A}}=\dfrac{F_{A0}-F_A}{F_{A0}} e F_A=F_{A0}(1-\mathbf{X}_{\mathbf{A}}), reescreve-se:
F_{A0}\mathbf{X}_{\mathbf{A}}=-V\,r_A.
  • Para um CSTR (misturador perfeitamente agitado) a equação acima é já a fórmula útil: V=\dfrac{F_{A0}\mathbf{X}_{\mathbf{A}}}{-r_A}, lembrando que r_A é avaliado nas condições de saída (concentração de saída).
  • Para um PFR (reator de fluxo piston): balanço diferencial
\frac{dF_A}{dV}=r_A.
Substituindo F_A=F_{A0}(1-\mathbf{X}_{\mathbf{A}})
F_{A0}\frac{d\mathbf{X}_{\mathbf{A}}}{dV}=-r_A,
e integrando:
V=F_{A0}\int_{0}^{\mathbf{X}_{\mathbf{A}}}\frac{dX}{-r_A}.
  • Observação prática: para contínuos frequentemente converte-se em tempo de residência \tau=V/q_0 com F_{A0}=q_0 C_{A0}, portanto as integrais aparecem multiplicadas por F_{A0} (ou traduzidas em \tau se preferir).

Passo 5

Comparação direta — diferenças e semelhanças formais (isso ajuda na prova para escolher a fórmula certa):
  • Mesma ideia física: \mathbf{X}_{\mathbf{A}} é sempre fração consumida. A diferença está nas grandezas que operam no balanço:
    • Batelada: equações em função de tempo t; usa-se moles iniciais N_{A0}. Resultado típico: \dfrac{d\mathbf{X}}{dt}=-\dfrac{V r_A}{N_{A0}} e t=\dfrac{N_{A0}}{V}\int_0^{\mathbf{X}}\dfrac{dX}{-r_A}.
    • Contínuo: equações em função de volume V (ou tempo de residência \tau); usa-se fluxos molares F_{A0}. Resultado típico para PFR: V=F_{A0}\int_0^{\mathbf{X}}\dfrac{dX}{-r_A}; para CSTR: V=\dfrac{F_{A0}\mathbf{X}}{-r_A(\text{saída})}í.
  • Semelhança estrutural: ambas levam a integrais do tipo \int \dfrac{dX}{-r_A} multiplicadas por uma constante que converte para a variável independente (tempo ou volume). Para batelada o fator é N_{A0}/V (levando a t); para PFR é F_{A0} (levando a V).
  • Na prática de prova: identifique se o problema dá moles iniciais e pede X em função do tempo (batelada) ou se dá fluxos e pede X em função de V ou \tau (contínuo). Em reações gasosas com variação de mols, atente para a relação entre C_A e X que inclui \epsilon estequiométrico (mudança volumétrica).

Passo 6

Exemplo didático rápido (reação de primeira ordem A\to produtos, r_A=-k C_A, volume constante):
  • Batelada:
    • Balanço: \dfrac{dC_A}{dt}=r_A=-k C_A.
    • Integração: C_A=C_{A0}e^{-kt}.
    • Conversão: \displaystyle \mathbf{X}_{\mathbf{A}}=1-\frac{C_A}{C_{A0}}=1-e^{-kt}.
  • PFR (mesma constante volumétrica e mesma vazão): com \tau=V/q_0
    • Resultado análogo: \displaystyle \mathbf{X}_{\mathbf{A}}=1-e^{-k\tau}.
  • CSTR:
    • Equação: F_{A0}\mathbf{X}_{\mathbf{A}}=-V r_A=V k C_A com C_A=C_{A0}(1-\mathbf{X}_{\mathbf{A}}) e F_{A0}=q_0 C_{A0}.
    • Resolvendo: \displaystyle \mathbf{X}_{\mathbf{A}}=\frac{k\tau}{1+k\tau}.
      Comentário motivador: veja só — batch e PFR dão a mesma forma funcional no caso de ordem 1 se você comparar t com \tau, mas o CSTR dá uma expressão diferente (isso é um ponto clássico que cai em prova).

Passo 7

Receita prática para a prova (passos a seguir quando aparecer exercício):
  1. Identificar tipo de reator: batelada (tempo-dependente) ou contínuo (fluxos, V ou \tau).
  2. Escrever a definição de \mathbf{X}_{\mathbf{A}} apropriada:
    • Batelada: \mathbf{X}_{\mathbf{A}}=(N_{A0}-N_A)/N_{A0} ou (C_{A0}-C_A)/C_{A0}.
    • Contínuo: \mathbf{X}_{\mathbf{A}}=(F_{A0}-F_A)/F_{A0}.
  3. Escrever o balanço (diferencial ou global) e substituir N_A ou F_A por expressões em função de \mathbf{X}_{\mathbf{A}}.
  4. Substituir a lei de velocidade r_A em função de concentração (transformar C_A em função de \mathbf{X}_{\mathbf{A}} se necessário).
  5. Integrar/arranjar a equação para obter t, V ou \mathbf{X}_{\mathbf{A}} conforme o que a questão pedir.

Resposta

Batelada: \displaystyle \mathbf{X}_{\mathbf{A}}=\frac{N_{A0}-N_A}{N_{A0}},\quad -N_{A0}\frac{d\mathbf{X}_{\mathbf{A}}}{dt}=V\,r_A\quad\Rightarrow\quad t=\frac{N_{A0}}{V}\int_{0}^{\mathbf{X}_{\mathbf{A}}}\frac{dX}{-r_A}.\nContínuo (PFR/CSTR): \displaystyle \mathbf{X}_{\mathbf{A}}=\frac{F_{A0}-F_A}{F_{A0}},\quad\text{PFR: }V=F_{A0}\int_{0}^{\mathbf{X}_{\mathbf{A}}}\frac{dX}{-r_A},\quad\text{CSTR: }V=\frac{F_{A0}\mathbf{X}_{\mathbf{A}}}{-r_A(\text{saída})}.í

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