Em um balanço de energia para um sistema aberto em regime permanente, se o sistema for um trocador de calor perfeitamente isolado e sem partes móveis, como a equação geral de balanço de energia é simplificada? Justifique eliminando os termos apropriados.

Passo 1

O enunciado pede que eu escreva a forma simplificada da equação geral de balanço de energia para um sistema aberto (volume de controle) nas condições:
  • regime permanente (steady state);
  • trocador de calor perfeitamente isolado (adiabático, sem troca de calor com o ambiente);
  • sem partes móveis (logo, sem trabalho de eixo/shaft work nem outros trabalhos associados a máquinas dentro do CV).
O que preciso entregar: a equação geral de balanço de energia para CV e a justificativa clara de quais termos são eliminados e por quê.
Informações dadas (tiradas do enunciado):
  • Sistema: aberto (entradas e/ou saídas de massa);
  • Regime: permanente (não há acúmulo de energia no volume de controle);
  • Isolamento térmico perfeito: nenhum fluxo de calor ( \dot{Q}=0);
  • Sem partes móveis: nenhum trabalho de eixo/shaft ( \dot{W}_{\text{shaft}}=0).

Passo 2

Escrever a forma geral do balanço de energia para um volume de controle (sistema aberto), incluindo todas as contribuições relevantes, e explicar cada termo.
A forma generalizada em tempo real é
\frac{dE_{\text{CV}}}{dt}=\dot{Q}-\dot{W}_{\text{shaft}}+\sum_{\text{in}}\dot{m}_{i}\,e_{i}-\sum_{\text{out}}\dot{m}_{e}\,e_{e},
onde:
  • \dfrac{dE_{\text{CV}}}{dt} é a taxa de variação da energia total armazenada dentro do volume de controle (energia interna + energia cinética + energia potencial + energia de ligações, etc.);
  • \dot{Q} é a taxa de calor transferido para o CV (positiva se entra no CV);
  • \dot{W}_{\text{shaft}} é a potência de trabalho de eixo (shaft work) ou trabalho útil realizado por dispositivos rotativos dentro do CV (positiva se feita pelo CV);
  • \dot{m}_i e \dot{m}_e são vazões mássicas nas entradas e saídas, respectivamente (kg/s);
  • e é a energia específica transportada pela massa e, para escoamentos, normalmente se usa a forma total específica
e = h + \frac{c^{2}}{2} + g z,
com:
  • h entalpia específica ( h=u+p\,\nu), que reúne energia interna u e a energia de fluxo (flow work) p\nu;
  • c velocidade do fluido (magnitude, m/s);
  • g aceleração da gravidade;
  • z altura (m).
    Explicação curta: em sistemas abertos a massa carrega entalpia ao entrar/sair; não se separa o termo p\nu porque ele faz parte do esforço de empurrar a massa para dentro/fora do CV (flow work).

Passo 3

Aplicar a condição de regime permanente e justificar sua implicação na equação.
Regime permanente significa que as propriedades do volume de controle não mudam no tempo; portanto:
\frac{dE_{\text{CV}}}{dt}=0.
Substituindo na equação geral obtemos a forma em regime permanente:
0=\dot{Q}-\dot{W}_{\text{shaft}}+\sum_{\text{in}}\dot{m}_{i}\left(h_{i}+\frac{c_{i}^{2}}{2}+g z_{i}\right)-\sum_{\text{out}}\dot{m}_{e}\left(h_{e}+\frac{c_{e}^{2}}{2}+g z_{e}\right).
Aqui expliquei o que foi feito: zerei o termo de armazenamento por serem condições de regime permanente.

Passo 4

Aplicar a condição de trocador perfeitamente isolado (adiabático) e justificar eliminação de termo(s).
Perfeitamente isolado significa que não há transferência de calor entre CV e entorno. Logo:
\dot{Q}=0.
Substituindo isso na equação de Passo 3, o termo \dot{Q} desaparece.

Passo 5

Aplicar a condição “sem partes móveis” e discutir quais trabalhos são eliminados.
“Sem partes móveis” normalmente significa que não existem máquinas rotativas ou pistões que realizem trabalho de eixo dentro do volume de controle. Então:
\dot{W}_{\text{shaft}}=0.
Observação importante (didática): isso não elimina o termo de trabalho de fluxo p\nu — esse já está incorporado na entalpia h. O que se elimina é apenas o trabalho mecânico adicional (shaft work, trabalho de bomba/ventilador ligado no CV etc.). Portanto o único trabalho que some é \dot{W}_{\text{shaft}}.

Passo 6

Escrever a equação final após eliminar os termos apropriados e discutir forma mais compacta.
Com \dfrac{dE_{\text{CV}}}{dt}=0, \dot{Q}=0 e \dot{W}_{\text{shaft}}=0 a equação reduz-se a
\sum_{\text{in}}\dot{m}_{i}\left(h_{i}+\frac{c_{i}^{2}}{2}+g z_{i}\right) = \sum_{\text{out}}\dot{m}_{e}\left(h_{e}+\frac{c_{e}^{2}}{2}+g z_{e}\right).
Interpretação: a taxa de energia transportada por todas as massas que entram deve igualar a taxa de energia transportada por todas as massas que saem. Essa é a conservação de energia para um CV em regime permanente, adiabático e sem trabalho de eixo.

Passo 7

Casos particulares e nota prática para prova (quando simplificar ainda mais).
  • Se houver apenas uma entrada (índice 1) e uma saída (índice 2) e as vazões forem iguais em regime permanente ( \dot{m}_1=\dot{m}_2=\dot{m}), divide-se por \dot{m} e obtém-se
h_{1}+\frac{c_{1}^{2}}{2}+g z_{1}=h_{2}+\frac{c_{2}^{2}}{2}+g z_{2}.
  • Em muitas aplicações práticas (trocadores de calor entre escoamentos em que velocidades e diferenças de altura são pequenas frente às mudanças de entalpia), pode-se negligenciar os termos cinéticos e potenciais; aí fica aproximadamente
\sum_{\text{in}}\dot{m}_{i}h_{i}=\sum_{\text{out}}\dot{m}_{e}h_{e}.
Justifique sempre no enunciado da prova se é aceitável desprezar \frac{c^{2}}{2} e g z (comparar ordens de grandeza).

Resposta

\sum_{\text{in}}\dot{m}_{i}\left(h_{i}+\frac{c_{i}^{2}}{2}+g z_{i}\right) = \sum_{\text{out}}\dot{m}_{e}\left(h_{e}+\frac{c_{e}^{2}}{2}+g z_{e}\right)

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