Diferencie as seguintes funções, aplicando as regras básicas de diferenciação. (2,0 pontos) f(x) = ln(x) / raiz(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de diferenciação! A gente precisa encontrar a derivada da função . Para isso, vamos usar as regras básicas de diferenciação, especialmente a regra do quociente, já que nossa função é uma fração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que usamos na regra do quociente. Na nossa função , temos:
  • Numerador:
  • Denominador:

Passo 3

A regra do quociente nos diz que, se temos uma função , a derivada dela é:
Então, vamos aplicar isso na nossa função.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador:
  • Derivada do numerador :
  • Derivada do denominador :

Passo 5

Agora, aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 6

Primeiro, simplificamos o denominador:
Agora, simplificamos o numerador:
E:
Então, a derivada fica:

Resposta

A derivada da função é:

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