Differentiate.
y=\csc \theta(\theta+\cot \theta)

Passo 1

O enunciado dá a função y=\csc\theta\bigl(\theta+\cot\theta\bigr) e pede para calcular a derivada de y em relação a \theta.\n
Informações fornecidas:
\;y está definida como o produto de duas funções de \theta: \csc\theta e \theta+\cot\theta.\n
Objetivo: encontrar \dfrac{dy}{d\theta}.

Passo 2

Vamos usar a regra do produto. A regra do produto diz que, se u(\theta) e v(\theta) são funções diferenciáveis, então
\frac{d}{d\theta}\bigl(u(\theta)v(\theta)\bigr)=u'(\theta)v(\theta)+u(\theta)v'(\theta).
Aqui escolhemos
u(\theta)=\csc\theta,\qquad v(\theta)=\theta+\cot\theta.
Explicando de forma simples: a derivada do produto é a derivada da primeira vezes a segunda, mais a primeira vezes a derivada da segunda.

Passo 3

Agora calculamos u'(\theta) e v'(\theta).
Regra e derivadas trigonométricas que precisamos (vou explicar cada uma):
  • A derivada da função \csc\theta é -\csc\theta\cot\theta. Isto vem do fato que \csc\theta=(\sin\theta)^{-1} e aplicando a regra da cadeia. Em linguagem simples: a derivada de cosecante traz um sinal negativo e multiplica por cotangente.
  • A derivada de \cot\theta é -\csc^2\theta.
  • A derivada de \theta em relação a \theta é 1.
Portanto:
u'(\theta) = \frac{d}{d\theta}\bigl(\csc\theta\bigr) = -\csc\theta\cot\theta,
v'(\theta) = \frac{d}{d\theta}\bigl(\theta+\cot\theta\bigr)=1+\frac{d}{d\theta}\bigl(\cot\theta\bigr)=1-\csc^2\theta.

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
\frac{dy}{d\theta}=u'(\theta)v(\theta)+u(\theta)v'(\theta).
Substituindo u,u',v,v':
\frac{dy}{d\theta} = \bigl(-\csc\theta\cot\theta\bigr)\bigl(\theta+\cot\theta\bigr) + \csc\theta\bigl(1-\csc^2\theta\bigr).
Aqui estamos apenas trocando as peças na fórmula da regra do produto.

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão passo a passo.
Primeiro note a identidade trigonométrica útil:
\csc^2\theta = 1+\cot^2\theta.
Assim
1-\csc^2\theta = 1-(1+\cot^2\theta) = -\cot^2\theta.
Substituindo isso em \frac{dy}{d\theta}:
\frac{dy}{d\theta} = -\csc\theta\cot\theta\bigl(\theta+\cot\theta\bigr) + \csc\theta\bigl(-\cot^2\theta\bigr).
Colocando -\csc\theta em evidência:
\frac{dy}{d\theta} = -\csc\theta\Bigl[\cot\theta\bigl(\theta+\cot\theta\bigr) + \cot^2\theta\Bigr].
Agora desenvolvendo o colchete:
\cot\theta\bigl(\theta+\cot\theta\bigr) + \cot^2\theta = \theta\cot\theta + \cot^2\theta + \cot^2\theta = \theta\cot\theta + 2\cot^2\theta.
Portanto
\frac{dy}{d\theta} = -\csc\theta\bigl(\theta\cot\theta + 2\cot^2\theta\bigr).
Fatorando \cot\theta dentro do parêntese:
\frac{dy}{d\theta} = -\csc\theta\cot\theta\bigl(\theta + 2\cot\theta\bigr).

Passo 6

Recapitulando o que fizemos: usamos a regra do produto, lembramos as derivadas de \csc e \cot, aplicamos identidade trigonométrica para simplificar, e fatoramos para obter uma forma compacta. Essa é uma boa forma final para escrever a derivada na prova.

Resposta

-\csc\theta\cot\theta\bigl(\theta+2\cot\theta\bigr)

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