Differentiate.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada de
em relação a
.\n
Informações fornecidas:
está definida como o produto de duas funções de
:
e
.\n
Objetivo: encontrar .
Informações fornecidas:
Objetivo: encontrar
Passo 2
Vamos usar a regra do produto. A regra do produto diz que, se
e
são funções diferenciáveis, então
Aqui escolhemos
Explicando de forma simples: a derivada do produto é a derivada da primeira vezes a segunda, mais a primeira vezes a derivada da segunda.
Passo 3
Agora calculamos
e
.
Regra e derivadas trigonométricas que precisamos (vou explicar cada uma):
- A derivada da função
é . Isto vem do fato que e aplicando a regra da cadeia. Em linguagem simples: a derivada de cosecante traz um sinal negativo e multiplica por cotangente. - A derivada de
é . - A derivada de
em relação a é .
Portanto:
Passo 4
Aplicando a regra do produto:
Substituindo
:
Aqui estamos apenas trocando as peças na fórmula da regra do produto.
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão passo a passo.
Primeiro note a identidade trigonométrica útil:
Assim
Substituindo isso em
:
Colocando
em evidência:
Agora desenvolvendo o colchete:
Portanto
Fatorando
dentro do parêntese:
Passo 6
Recapitulando o que fizemos: usamos a regra do produto, lembramos as derivadas de
e
, aplicamos identidade trigonométrica para simplificar, e fatoramos para obter uma forma compacta. Essa é uma boa forma final para escrever a derivada na prova.