3- (2,00) Um lado de um triângulo está aumentando em uma taxa de 3 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} e um lado está decrescendo em uma taxa de 2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. Se a área do triângulo permanece constante, a que taxa varia o ângulo entre os lados quando o primeiro lado tem 20 cm , o segundo lado tem 30 cm e o ângulo é \pi / 6 ?

Passo 1

O problema diz o seguinte (vou listar direitinho para você não se perder):
  • Temos um triângulo com dois lados que chamarei de \,a(t)\, e \,b(t)\, e o ângulo entre eles \,\theta(t)\,.
  • Um dos lados está aumentando à taxa \,\dfrac{da}{dt}=3\\ \mathrm{cm/s}\,.
  • O outro lado está diminuindo à taxa \,\dfrac{db}{dt}=-2\\ \mathrm{cm/s}\,.
  • A área do triângulo permanece constante (ou seja, a taxa de variação da área é zero).
  • No instante de interesse temos \,a=20\\ \mathrm{cm}\,,\; b=30\\ \mathrm{cm}\,,\; \theta=\dfrac{\pi}{6}\,.
    O que o enunciado pede: encontrar a taxa de variação do ângulo, isto é \dfrac{d\theta}{dt}, nesse instante.

Passo 2

Definindo a fórmula que liga as quantidades: a área de um triângulo em função de dois lados e do ângulo entre eles é dada por
A=\tfrac{1}{2}\,a\,b\,\sin\theta.
Aqui \,A(t)\, é a área, \,a(t)\, e \,b(t)\, são os comprimentos dos dois lados e \,\theta(t)\, é o ângulo entre eles. Essa fórmula vem direto da metade do produto das bases vezes altura, e escrevemos a altura como b\sin\theta ou a\sin\theta conforme a conveniência.

Passo 3

Como a área é constante, temos \dfrac{dA}{dt}=0. Vamos diferenciar a expressão
A=\tfrac{1}{2}\,a\,b\,\sin\theta
em relação ao tempo. Usei três coisas aqui: regra do produto (porque a, b e \sin\theta dependem de t), e a regra da cadeia quando derivamos \sin\theta(t) (resultado \cos\theta\cdot d\theta/dt). Diferenciando:
\frac{dA}{dt}=\tfrac{1}{2}\Big( \frac{da}{dt}\,b\,\sin\theta + a\,\frac{db}{dt}\,\sin\theta + a\,b\,\cos\theta\,\frac{d\theta}{dt}\Big).
Como \dfrac{dA}{dt}=0, isolamos \dfrac{d\theta}{dt}:
0=\tfrac{1}{2}\Big( \frac{da}{dt}\,b\,\sin\theta + a\,\frac{db}{dt}\,\sin\theta + a\,b\,\cos\theta\,\frac{d\theta}{dt}\Big).
Multiplicando por 2 e isolando \dfrac{d\theta}{dt} obtemos:
\frac{d\theta}{dt}=-\frac{\frac{da}{dt}\,b\,\sin\theta + a\,\frac{db}{dt}\,\sin\theta}{a\,b\,\cos\theta}.
Podemos fatorar \sin\theta e escrever numa forma mais curta:
\frac{d\theta}{dt}=-\frac{\sin\theta\,(b\,\frac{da}{dt}+a\,\frac{db}{dt})}{a\,b\,\cos\theta} =-\tan\theta\;\frac{b\,\frac{da}{dt}+a\,\frac{db}{dt}}{a\,b}.
Essa última forma é útil para calcular direto, porque \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}.

Passo 4

Agora substituímos os valores do enunciado: \,a=20\,,\; b=30\,,\; \dfrac{da}{dt}=3\,,\; \dfrac{db}{dt}=-2\,,\; \theta=\dfrac{\pi}{6}.
Calcule primeiro o combinador linear:
b\,\frac{da}{dt}+a\,\frac{db}{dt}=30\cdot 3 + 20\cdot(-2)=90-40=50.
E o produto a\,b=20\cdot 30=600. Também \tan\theta=\tan\!\big(\tfrac{\pi}{6}\big)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Substituindo na fórmula:
\frac{d\theta}{dt}=-\tan\!\big(\tfrac{\pi}{6}\big)\cdot\frac{50}{600} =-\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{50}{600} =-\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{12} =-\frac{1}{12\sqrt{3}}.

Passo 5

Racionalizando o denominador para uma forma mais elegante:
-\frac{1}{12\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{36}.
A unidade é radianos por segundo ( \mathrm{rad/s}). O sinal negativo indica que o ângulo está diminuindo naquele instante (faz sentido: um lado cresce, o outro diminui, e para manter a área fixa o ângulo ajusta-se reduzindo).

Resposta

-\dfrac{\sqrt{3}}{36}\\ \mathrm{rad/s}

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