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Um lado de um triângulo está aumentando em uma taxa de
e um lado está decrescendo em uma taxa de
. Se a área do triângulo permanece constante, a que taxa varia o ângulo entre os lados quando o primeiro lado tem 20 cm , o segundo lado tem 30 cm e o ângulo é
?
Passo 1
O problema diz o seguinte (vou listar direitinho para você não se perder):
- Temos um triângulo com dois lados que chamarei de
e e o ângulo entre eles . - Um dos lados está aumentando à taxa
. - O outro lado está diminuindo à taxa
. - A área do triângulo permanece constante (ou seja, a taxa de variação da área é zero).
- No instante de interesse temos
O que o enunciado pede: encontrar a taxa de variação do ângulo, isto é, nesse instante.
Passo 2
Definindo a fórmula que liga as quantidades: a área de um triângulo em função de dois lados e do ângulo entre eles é dada por
Aqui
é a área,
e
são os comprimentos dos dois lados e
é o ângulo entre eles. Essa fórmula vem direto da metade do produto das bases vezes altura, e escrevemos a altura como
ou
conforme a conveniência.
Passo 3
Como a área é constante, temos
. Vamos diferenciar a expressão
em relação ao tempo. Usei três coisas aqui: regra do produto (porque
,
e
dependem de
), e a regra da cadeia quando derivamos
(resultado
). Diferenciando:
Como
, isolamos
:
Multiplicando por
e isolando
obtemos:
Podemos fatorar
e escrever numa forma mais curta:
Essa última forma é útil para calcular direto, porque
.
Passo 4
Agora substituímos os valores do enunciado:
Calcule primeiro o combinador linear:
Calcule primeiro o combinador linear:
E o produto
. Também
. Substituindo na fórmula:
Passo 5
Racionalizando o denominador para uma forma mais elegante:
A unidade é radianos por segundo (
). O sinal negativo indica que o ângulo está diminuindo naquele instante (faz sentido: um lado cresce, o outro diminui, e para manter a área fixa o ângulo ajusta-se reduzindo).