A difração de raios
de um cristal cúbico com
, é obtida usando raios X com comprimento de onda igual a
. Um pico no difratograma é
. Quais são os índices de Miller para esse pico?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Constante de rede do cristal cúbico:
. - Comprimento de onda dos raios
: . - Pico observado em
.
- Constante de rede do cristal cúbico:
-
Pergunta:
- Quais são os índices de Miller
correspondentes a esse pico?
- Quais são os índices de Miller
Passo 2
Entendendo a relação física que liga comprimento de onda, ângulo de difração e espaçamento entre planos cristalinos.
A lei que relaciona essas quantidades é a chamada lei de Bragg:
onde:
-
é a ordem da difração (um inteiro positivo: ); -
é o comprimento de onda dos raios ; -
é o espaçamento entre planos cristalinos que produzem a reflexão; -
é o ângulo de Bragg (metade de ).
Na prática experimental usual, o primeiro pico corresponde à primeira ordem de difração, ou seja
, salvo indicação em contrário. Vou assumir
.
Passo 3
Calcular
a partir de
.
Passo 4
Usar a lei de Bragg para determinar
.
A expressão para
(com
) é
Substituindo os valores:
Agora precisamos do valor de
. Podemos calcular aproximadamente usando a identidade
Usando
,
, e para o pequeno ângulo
(em radianos
rad) podemos aproximar
e
. Então
Substituindo:
Arredondando com sentido prático:
Passo 5
Relação entre
e os índices de Miller para rede cúbica.
Para uma rede cúbica simples, o espaçamento entre planos
é dado por
onde:
-
é a constante de rede (distância entre nós da rede); -
são os índices de Miller (inteiros não negativos, podendo ter permutações e sinais).
Vamos igualar
ao valor calculado
:
Rearranjando,
Substituindo
e
:
Elevando ao quadrado:
Passo 6
Encontrar inteiros
com soma de quadrados igual a
.
Procuramos soluções inteiras não negativas de
Possibilidades:
- Se um índice for
e os outros dois zero: . Isso gera as famílias , , — na notação de família de planos isso é a família . - Não existem combinações com três índices não nulos que somem 4 com quadrados inteiros (por exemplo
exigiria , que não é quadrado inteiro). - Outras permutações com sinais são equivalentes (sinal apenas indica orientação, os planos
e são a mesma família).
Portanto os índices de Miller correspondentes são
e suas permutações — usualmente referidas coletivamente como
.
Passo 7
Breve verificação/observação final (motivacional): o resultado é limpo e inteiro porque em redes cúbicas os espaçamentos
estão diretamente quantizados pela expressão com
. Encontrar
deu uma soma de quadrados inteira (
), o que facilita identificar os índices. Bom trabalho — esse tipo de problema costuma cair muito na prova!