A difração de raios X de um cristal cúbico com a=0,300 \mathrm{~nm}, é obtida usando raios X com comprimento de onda igual a 0,154 \mathrm{~nm}. Um pico no difratograma é 2 \square=61,8^{\circ}. Quais são os índices de Miller para esse pico?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Constante de rede do cristal cúbico: a=0{,}300\\ \mathrm{nm}.
    • Comprimento de onda dos raios X: \lambda=0{,}154\\ \mathrm{nm}.
    • Pico observado em 2\theta=61{,}8^\circ.
  • Pergunta:
    • Quais são os índices de Miller (h,k,l) correspondentes a esse pico?

Passo 2

Entendendo a relação física que liga comprimento de onda, ângulo de difração e espaçamento entre planos cristalinos.
A lei que relaciona essas quantidades é a chamada lei de Bragg:
n\lambda = 2d\sin\theta,
onde:
  • n é a ordem da difração (um inteiro positivo: n=1,2,\dots);
  • \lambda é o comprimento de onda dos raios X;
  • d é o espaçamento entre planos cristalinos que produzem a reflexão;
  • \theta é o ângulo de Bragg (metade de 2\theta).
Na prática experimental usual, o primeiro pico corresponde à primeira ordem de difração, ou seja n=1, salvo indicação em contrário. Vou assumir n=1.

Passo 3

Calcular \theta a partir de 2\theta.
\theta = \frac{2\theta}{2} = \frac{61{,}8^\circ}{2} = 30{,}9^\circ.

Passo 4

Usar a lei de Bragg para determinar d.
A expressão para d (com n=1) é
d=\frac{\lambda}{2\sin\theta}.
Substituindo os valores:
d=\frac{0{,}154\\ \mathrm{nm}}{2\sin(30{,}9^\circ)}.
Agora precisamos do valor de \sin(30{,}9^\circ). Podemos calcular aproximadamente usando a identidade
\sin(30{,}9^\circ)=\sin(30^\circ+0{,}9^\circ)=\sin30^\circ\cos0{,}9^\circ+\cos30^\circ\sin0{,}9^\circ.
Usando \sin30^\circ=0{,}5, \cos30^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0{,}8660254, e para o pequeno ângulo 0{,}9^\circ (em radianos 0{,}9^\circ\approx0{,}015708 rad) podemos aproximar \sin0{,}9^\circ\approx0{,}015708 e \cos0{,}9^\circ\approx0{,}999876. Então
\sin(30{,}9^\circ)\approx 0{,}5\cdot0{,}999876 + 0{,}8660254\cdot0{,}015708 \approx 0{,}499938 + 0{,}013600 \approx 0{,}513538.
Substituindo:
d \approx \frac{0{,}154}{2\cdot0{,}513538}\\ \mathrm{nm} = \frac{0{,}154}{1{,}027076}\\ \mathrm{nm} \approx 0{,}1499\\ \mathrm{nm}.
Arredondando com sentido prático:
d \approx 0{,}150\\ \mathrm{nm}.

Passo 5

Relação entre d e os índices de Miller para rede cúbica.
Para uma rede cúbica simples, o espaçamento entre planos (hkl) é dado por
d_{hkl} = \frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}},
onde:
  • a é a constante de rede (distância entre nós da rede);
  • h,k,l são os índices de Miller (inteiros não negativos, podendo ter permutações e sinais).
Vamos igualar d_{hkl} ao valor calculado d:
\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}} = d.
Rearranjando,
\sqrt{h^2+k^2+l^2} = \frac{a}{d}.
Substituindo a=0{,}300\\ \mathrm{nm} e d\approx0{,}150\\ \mathrm{nm}:
\sqrt{h^2+k^2+l^2} = \frac{0{,}300}{0{,}150} = 2.
Elevando ao quadrado:
h^2+k^2+l^2 = 4.

Passo 6

Encontrar inteiros h,k,l com soma de quadrados igual a 4.
Procuramos soluções inteiras não negativas de
h^2+k^2+l^2 = 4.
Possibilidades:
  • Se um índice for 2 e os outros dois zero: 2^2+0+0=4. Isso gera as famílias (2,0,0), (0,2,0), (0,0,2) — na notação de família de planos isso é a família \{200\}.
  • Não existem combinações com três índices não nulos que somem 4 com quadrados inteiros (por exemplo 1^2+1^2+?=4 exigiria ?=2, que não é quadrado inteiro).
  • Outras permutações com sinais são equivalentes (sinal apenas indica orientação, os planos (2,0,0) e (-2,0,0) são a mesma família).
Portanto os índices de Miller correspondentes são (2,0,0) e suas permutações — usualmente referidas coletivamente como \{200\}.

Passo 7

Breve verificação/observação final (motivacional): o resultado é limpo e inteiro porque em redes cúbicas os espaçamentos d estão diretamente quantizados pela expressão com \sqrt{h^2+k^2+l^2}. Encontrar a/d=2 deu uma soma de quadrados inteira ( 4), o que facilita identificar os índices. Bom trabalho — esse tipo de problema costuma cair muito na prova!

Resposta

(2,0,0) (família de planos \{200\})

Exercícios relacionados