Diga se as afirmativas são falsas ou verdadeiras, justificando sua resposta.
Se uma função
é derivável no intervalo fechado
e
, então existe pelo menos um número
no intervalo aberto
tal que
.
Se uma função
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: uma função
é diferenciável no intervalo fechado . Ou seja, é diferenciável em todo ponto de e as derivadas nos extremos e (no sentido apropriado) existem — em particular e existem. - Informação adicional no enunciado:
. Isso significa que e têm sinais opostos; sem perda de generalidade um é negativo e o outro é positivo. - Pergunta: provar (ou refutar) a afirmação de que existe pelo menos um
tal que .
Passo 2
Ideia geral / ferramentas que vamos usar (breve resumo didático):
- Diferenciável implica contínua: se
é diferenciável num ponto então é contínua lá. Logo é contínua em . - Teorema do valor extremo: uma função contínua em
atinge máximo e mínimo absolutos em . - Comportamento local a partir do sinal da derivada no extremo: se
então, ao olhar para a direita de , inicialmente decresce (há um pequeno intervalo onde ). Analogamente, se então, ao olhar para a esquerda de , inicialmente decresce quando se aproxima de por left (ou seja, para próximo de com ). - Teorema de Fermat para extremos interiores: se
é diferenciável em e tem máximo ou mínimo local em então . - Observação sobre Darboux: existe também um resultado geral (o Teorema de Darboux) que diz que derivadas têm a propriedade de valor intermediário; com isso a conclusão também segue. Mas aqui faço uma prova direta mais elementar usando extremos e Fermat, que é suficiente e didática.
Passo 3
Redução do caso e argumento inicial:
- Sem perda de generalidade suponho que
e . (Se ocorrer o contrário, basta trocar os papéis de e ; o raciocínio é análogo.) - Pelo que foi dito, como
é diferenciável em existem e uma condição tal que, para , o que implica para esses . Assim não é ponto de máximo global de em (há pontos à direita com valor menor). - De modo semelhante, como
existem tal que, para , ou seja, para esses . Assim também não é ponto de máximo global em .
Passo 4
Uso do Teorema do Valor Extremo e Fermat:
- Como
é contínua em , pelo Teorema do Valor Extremo existe pelo menos um ponto onde atinge o seu máximo global em . - Pelas observações do Passo 3, esse máximo não pode ocorrer em
nem em . Portanto o máximo global ocorre em algum ponto . - Como
é um ponto interior onde atinge um extremo (máximo), e é diferenciável em , pelo Teorema de Fermat vale .
Passo 5
Conclusão do argumento e comentários pedagógicos:
- Assim provamos que, quando
e têm sinais opostos, existe com . - Comentário extra (intuição): a ideia é que se na borda esquerda a inclinação inicial é negativa e na borda direita a inclinação final é positiva, a curva obrigatoriamente “vira” em algum ponto do meio; esse ponto de virada é um extremo interior, e em extremos interiores a derivada é zero.
- Observação alternativa: o mesmo resultado também segue imediatamente do Teorema de Darboux (derivada tem propriedade do valor intermediário): como
está entre e , existe com . A prova acima evita invocar Darboux explicitamente e usa apenas extremos e Fermat.
Resposta
Verdadeira.