Diga se as afirmativas são falsas ou verdadeiras, justificando sua resposta.
Se uma função f(x) é derivável no intervalo fechado [a, b] e f^{\prime}(a) f^{\prime}(b)<0, então existe pelo menos um número c no intervalo aberto (a, b) tal que f^{\prime}\text{(c)}=0.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: uma função f é diferenciável no intervalo fechado [a,b]. Ou seja, f é diferenciável em todo ponto de (a,b) e as derivadas nos extremos a e b (no sentido apropriado) existem — em particular f'(a) e f'(b) existem.
  • Informação adicional no enunciado: f'(a)f'(b)<0. Isso significa que f'(a) e f'(b) têm sinais opostos; sem perda de generalidade um é negativo e o outro é positivo.
  • Pergunta: provar (ou refutar) a afirmação de que existe pelo menos um c\in(a,b) tal que f'\text{(c)}=0.

Passo 2

Ideia geral / ferramentas que vamos usar (breve resumo didático):
  • Diferenciável implica contínua: se f é diferenciável num ponto então é contínua lá. Logo f é contínua em [a,b].
  • Teorema do valor extremo: uma função contínua em [a,b] atinge máximo e mínimo absolutos em [a,b].
  • Comportamento local a partir do sinal da derivada no extremo: se f'(a)<0 então, ao olhar para a direita de a, f inicialmente decresce (há um pequeno intervalo (a,a+\delta) onde f(x)<f(a)). Analogamente, se f'(b)>0 então, ao olhar para a esquerda de b, f inicialmente decresce quando se aproxima de b por left (ou seja, f(x)<f(b) para x próximo de b com x<b).
  • Teorema de Fermat para extremos interiores: se f é diferenciável em c e f tem máximo ou mínimo local em c então f'\text{(c)}=0.
  • Observação sobre Darboux: existe também um resultado geral (o Teorema de Darboux) que diz que derivadas têm a propriedade de valor intermediário; com isso a conclusão também segue. Mas aqui faço uma prova direta mais elementar usando extremos e Fermat, que é suficiente e didática.

Passo 3

Redução do caso e argumento inicial:
  • Sem perda de generalidade suponho que f'(a)<0 e f'(b)>0. (Se ocorrer o contrário, basta trocar os papéis de a e b; o raciocínio é análogo.)
  • Pelo que foi dito, como f é diferenciável em a existem \delta_1>0 e uma condição tal que, para x\in(a,a+\delta_1), \frac{f(x)-f(a)}{x-a}<0,o que implica f(x)<f(a) para esses x. Assim a não é ponto de máximo global de f em [a,b] (há pontos à direita com valor menor).
  • De modo semelhante, como f'(b)>0 existem \delta_2>0 tal que, para x\in(b-\delta_2,b), \frac{f(x)-f(b)}{x-b}<0,ou seja, f(x)<f(b) para esses x. Assim b também não é ponto de máximo global em [a,b].

Passo 4

Uso do Teorema do Valor Extremo e Fermat:
  • Como f é contínua em [a,b], pelo Teorema do Valor Extremo existe pelo menos um ponto c\in[a,b] onde f atinge o seu máximo global em [a,b].
  • Pelas observações do Passo 3, esse máximo não pode ocorrer em a nem em b. Portanto o máximo global ocorre em algum ponto c\in(a,b).
  • Como c é um ponto interior onde f atinge um extremo (máximo), e f é diferenciável em c, pelo Teorema de Fermat vale f'\text{(c)}=0.

Passo 5

Conclusão do argumento e comentários pedagógicos:
  • Assim provamos que, quando f'(a) e f'(b) têm sinais opostos, existe c\in(a,b) com f'\text{(c)}=0.
  • Comentário extra (intuição): a ideia é que se na borda esquerda a inclinação inicial é negativa e na borda direita a inclinação final é positiva, a curva obrigatoriamente “vira” em algum ponto do meio; esse ponto de virada é um extremo interior, e em extremos interiores a derivada é zero.
  • Observação alternativa: o mesmo resultado também segue imediatamente do Teorema de Darboux (derivada tem propriedade do valor intermediário): como 0 está entre f'(a) e f'(b), existe c\in(a,b) com f'\text{(c)}=0. A prova acima evita invocar Darboux explicitamente e usa apenas extremos e Fermat.

Resposta

Verdadeira.

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