Diga se as afirmativas são falsas ou verdadeiras, justificando sua resposta.
Se uma função
é derivável no intervalo fechado
e
, então existe pelo menos um número
no intervalo aberto
tal que
.
Se uma função
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados: a função
é diferenciável no intervalo fechado e satisfaz . - Pedido: decidir se a afirmativa "existe pelo menos um número
no intervalo aberto tal que " é verdadeira ou falsa, e justificar.
Observação imediata que vem do dado:
significa que pelo menos um dos dois valores
ou
é igual a
.
Passo 2
Antes de atacar a afirmativa, vamos relembrar três resultados úteis (com explicação curta) para entender por que eles não garantem a afirmativa.
-
Teorema de Rolle.
Afirmação: seé contínua em , diferenciável em e , então existe com .
Explicação: a hipótese essencial aqui é que os valores da função nos extremos são iguais; então a função atinge um máximo ou mínimo interno ou tem derivada zero em algum ponto interior. -
Teorema do Valor Médio (TVM).
Afirmação: seé contínua em e diferenciável em , então existe tal que
Explicação: o TVM dá um ponto interior em que a derivada vale a razão de variação média, mas não fala diretamente sobre valores específicos como zero, a menos que essa razão seja zero (ou seja,
).
- Propriedade de Darboux da derivada.
Afirmação: seé diferenciável em (no sentido usual), então tem a propriedade do valor intermediário: se e , então para qualquer entre e existe com .
Explicação: a derivada não precisa ser contínua, mas não tem “saltos” — toma todos os valores entre dois valores conhecidos. Atenção: se um dos valores conhecidos ée o outro é diferente de , Darboux garante que atinge todos os valores entre eles, mas se é um dos extremos (por exemplo e ), o valor já é um extremo e Darboux não obriga que apareça estritamente no interior — ele já aparece na fronteira.
Conclusão destas ideias: para garantir um
com
normalmente precisamos de hipóteses como
(Rolle) ou que a derivada assuma sinais opostos nos extremos e, por Darboux, passe por zero no interior. Mas a condição dada
apenas diz que pelo menos um dos
ou
é zero — isso pode ocorrer sem que exista ponto interior com derivada zero.
Passo 3
Vou dar um contraexemplo simples e explícito que mostra que a afirmativa é falsa.
Considere a função
definida no intervalo
. (Escolhi
.)
Calcule a derivada e os valores nos extremos:
Logo
Portanto
ou seja, a hipótese
é satisfeita.
Agora verifique se existe
com
. Como
, para
tem-se
, ou seja,
para todo
. Não existe nenhum
interior tal que
.
Isso mostra explicitamente que a afirmativa "se
então existe
com
" é falsa.
Passo 4
Interpretação intuitiva e conclusão final:
- A condição
só garante que pelo menos um dos valores ou é zero. Se o zero ocorrer apenas numa extremidade, nada obriga que a derivada seja zero em algum ponto estritamente interior. O contraexemplo em ilustra isso de forma clara. - Hipóteses que garantem um zero interior são, por exemplo,
(Rolle) ou o fato de e terem sinais opostos (então, por Darboux, passa por zero no interior). Mas apenas ter o produto nulo não é suficiente.
Força aí nos estudos — esse tipo de armadilha aparece muito em provas: olhar para produtos zerados e supor demais.
Resposta
Falsa