Diga se as afirmativas são falsas ou verdadeiras, justificando sua resposta.
Se uma função f(x) é derivável no intervalo fechado [a, b] e f^{\prime}(a) f^{\prime}(b)=0, então existe pelo menos um número c no intervalo aberto (a, b) tal que f^{\prime}\text{(c)}=0.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados: a função \,f é diferenciável no intervalo fechado [a,b] e satisfaz \,f'(a)f'(b)=0.
  • Pedido: decidir se a afirmativa "existe pelo menos um número c no intervalo aberto (a,b) tal que \,f'\text{(c)}=0" é verdadeira ou falsa, e justificar.
Observação imediata que vem do dado: \,f'(a)f'(b)=0 significa que pelo menos um dos dois valores \,f'(a) ou \,f'(b) é igual a 0.

Passo 2

Antes de atacar a afirmativa, vamos relembrar três resultados úteis (com explicação curta) para entender por que eles não garantem a afirmativa.
  1. Teorema de Rolle.
    Afirmação: se f é contínua em [a,b], diferenciável em (a,b) e f(a)=f(b), então existe c\in(a,b) com \,f'\text{(c)}=0.
    Explicação: a hipótese essencial aqui é que os valores da função nos extremos são iguais; então a função atinge um máximo ou mínimo interno ou tem derivada zero em algum ponto interior.
  2. Teorema do Valor Médio (TVM).
    Afirmação: se f é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b), então existe c\in(a,b) tal que
f'\text{(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
Explicação: o TVM dá um ponto interior em que a derivada vale a razão de variação média, mas não fala diretamente sobre valores específicos como zero, a menos que essa razão seja zero (ou seja, f(a)=f(b)).
  1. Propriedade de Darboux da derivada.
    Afirmação: se f é diferenciável em [a,b] (no sentido usual), então f' tem a propriedade do valor intermediário: se f'(p)=\alpha e f'(q)=\beta, então para qualquer \gamma entre \alpha e \beta existe t\in(p,q) com f'(t)=\gamma.
    Explicação: a derivada não precisa ser contínua, mas não tem “saltos” — toma todos os valores entre dois valores conhecidos. Atenção: se um dos valores conhecidos é 0 e o outro é diferente de 0, Darboux garante que f' atinge todos os valores entre eles, mas se 0 é um dos extremos (por exemplo f'(a)=0 e f'(b)=2), o valor 0 já é um extremo e Darboux não obriga que 0 apareça estritamente no interior — ele já aparece na fronteira.
Conclusão destas ideias: para garantir um c\in(a,b) com f'\text{(c)}=0 normalmente precisamos de hipóteses como f(a)=f(b) (Rolle) ou que a derivada assuma sinais opostos nos extremos e, por Darboux, passe por zero no interior. Mas a condição dada \,f'(a)f'(b)=0 apenas diz que pelo menos um dos f'(a) ou f'(b) é zero — isso pode ocorrer sem que exista ponto interior com derivada zero.

Passo 3

Vou dar um contraexemplo simples e explícito que mostra que a afirmativa é falsa.
Considere a função \,f(x)=x^2 definida no intervalo [0,1]. (Escolhi [a,b]=[0,1].)
Calcule a derivada e os valores nos extremos:
f'(x)=2x.
Logo
f'(0)=0,\qquad f'(1)=2.
Portanto
f'(0)f'(1)=0\cdot 2 = 0,
ou seja, a hipótese \,f'(a)f'(b)=0 é satisfeita.
Agora verifique se existe c\in(0,1) com f'\text{(c)}=0. Como f'(x)=2x, para x\in(0,1) tem-se 2x>0, ou seja, f'(x)\neq 0 para todo x\in(0,1). Não existe nenhum c interior tal que f'\text{(c)}=0.
Isso mostra explicitamente que a afirmativa "se \,f'(a)f'(b)=0 então existe c\in(a,b) com \,f'\text{(c)}=0" é falsa.

Passo 4

Interpretação intuitiva e conclusão final:
  • A condição \,f'(a)f'(b)=0 só garante que pelo menos um dos valores \,f'(a) ou \,f'(b) é zero. Se o zero ocorrer apenas numa extremidade, nada obriga que a derivada seja zero em algum ponto estritamente interior. O contraexemplo \,f(x)=x^2 em [0,1] ilustra isso de forma clara.
  • Hipóteses que garantem um zero interior são, por exemplo, f(a)=f(b) (Rolle) ou o fato de f'(a) e f'(b) terem sinais opostos (então, por Darboux, f' passa por zero no interior). Mas apenas ter o produto nulo não é suficiente.
Força aí nos estudos — esse tipo de armadilha aparece muito em provas: olhar para produtos zerados e supor demais.

Resposta

Falsa

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