- Diga justificando se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações:
a.
é um polinómio completo.
b. O resto da divisão de
por
é 0 (zero).
a.
b. O resto da divisão de
Passo 1
O enunciado pede para verificar duas afirmações sobre polinômios:
- Se
é um polinómio completo, isto é, se na forma expandida aparecem todos os graus desde o grau máximo até o termo constante. - Se o resto da divisão de
por é zero.
O conteúdo que vamos usar inclui a definição de polinômio completo e o Teorema do Resto.
Passo 2
Primeiro, definimos polinômio completo: um polinômio de grau
é completo quando, ao escrever todos os termos na forma expandida, aparecem os monômios de grau
. Para testar, expandimos
Passo 3
Fazendo a multiplicação,
Aqui vemos termos de grau
,
,
e o termo constante
. Não falta nenhum grau, portanto
é um polinômio completo. A afirmação (a) é verdadeira.
Passo 4
Para a segunda afirmação, usamos o Teorema do Resto, que diz que o resto da divisão de um polinômio
por
é
. No caso,
e
Passo 5
Calculamos
Como
, o resto da divisão por
é zero. A afirmação (b) é verdadeira.
Resposta
(a) Verdadeira.
(b) Verdadeira.
(b) Verdadeira.