1. Diga justificando se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações:
    a. p(x)=(x-1)\left(x^{2}-2 x+1\right) é um polinómio completo.
    b. O resto da divisão de p(x)=x^{5}-3 x^{2}+2 x por (x-1) é 0 (zero).

Passo 1

O enunciado pede para verificar duas afirmações sobre polinômios:
  1. Se p(x)=(x-1)\bigl(x^{2}-2x+1\bigr) é um polinómio completo, isto é, se na forma expandida aparecem todos os graus desde o grau máximo até o termo constante.
  2. Se o resto da divisão de q(x)=x^{5}-3x^{2}+2x por (x-1) é zero.
    O conteúdo que vamos usar inclui a definição de polinômio completo e o Teorema do Resto.

Passo 2

Primeiro, definimos polinômio completo: um polinômio de grau n é completo quando, ao escrever todos os termos na forma expandida, aparecem os monômios de grau n, n-1,\dots,1,0. Para testar, expandimos
p(x) = (x-1)(x^{2}-2x+1).

Passo 3

Fazendo a multiplicação,
\begin{aligned} p(x) &= x\cdot(x^{2}-2x+1)\;-\;1\cdot(x^{2}-2x+1)\\\ &= x^{3}-2x^{2}+x \;-\;x^{2}+2x-1\\\ &= x^{3}-3x^{2}+3x-1. \end{aligned}
Aqui vemos termos de grau 3, 2, 1 e o termo constante -1. Não falta nenhum grau, portanto p(x) é um polinômio completo. A afirmação (a) é verdadeira.

Passo 4

Para a segunda afirmação, usamos o Teorema do Resto, que diz que o resto da divisão de um polinômio q(x) por (x-a) é q(a). No caso, a=1 e
q(x)=x^{5}-3x^{2}+2x.

Passo 5

Calculamos
q(1)=1^{5}-3\cdot1^{2}+2\cdot1 = 1 - 3 + 2 = 0.
Como q(1)=0, o resto da divisão por (x-1) é zero. A afirmação (b) é verdadeira.

Resposta

(a) Verdadeira.
(b) Verdadeira.

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