Diga os maiores subconjuntos de R nos quais cada igualdade abaixo é verdadeira. Caso cada equação não seja válida em todo o R, dê exemplos de valores de x no qual ela não é válida e explicando o motivo.
raiz[3]x^6=x^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os maiores subconjuntos de R onde vale raiz[3]x^6=x^2. O conteúdo envolve radiciação de índice ímpar e propriedades de expoentes.

Passo 2

A raiz cúbica de um número real y está definida para todo yinR. Como x^6>=0 para todo x, o radicando é sempre não negativo, mas mesmo assim a raiz cúbica existe para todos os xinR.

Passo 3

Pela definição de raiz ímpar e pelas regras de expoentes temos:
raiz[3]x^6=(x^6)^1/3
Usamos a propriedade (a^m)^n=a^mn quando a>=0 ou em índices ímpares no caso real. Então
(x^6)^1/3=x^6cdot(1/3)=x^2

Passo 4

Alternativamente, podemos notar que
(x^6)^1/3=(|x|^6)^1/3=|x|^2
e que |x|^2=x^2 para todo xinR. Portanto a igualdade se mantém.

Passo 5

Como não há nenhuma restrição em x, a igualdade vale para todos os reais. Não existem valores de x onde a expressão falhe.

Resposta

R

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