Uma coluna biarticulada de 2 m de comprimento de seção transversal quadrada deve ser feita de madeira. Considerando que
, e usando um coeficiente de segurança de 2,5 ao calcular a força crítica de Euler para a flambagem, determine a dimensão da seção transversal se a coluna deve suportar com segurança uma força de 200 kN
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados:
- comprimento da coluna:
. - material: madeira com módulo de elasticidade
. - resistência admissível à compressão:
. - carga de serviço que a coluna deve suportar:
. - coeficiente de segurança para flambagem (Euler):
. - apoio da coluna: biarticulada (ambas as extremidades articuladas), logo o fator de comprimento efetivo é
.
- comprimento da coluna:
-
O que se pede:
- determinar a dimensão do lado da seção transversal quadrada (chame-a de
) para que a coluna suporte com segurança a carga dada, levando em conta tanto o critério de flambagem (Euler com o SF dado) quanto o critério de resistência do material ( ).
- determinar a dimensão do lado da seção transversal quadrada (chame-a de
Passo 2
Estratégia e fórmulas fundamentais (mini-aula rápida e aplicada).
- Flambagem de Euler (coluna esbelta, carregamento centrado): a carga crítica teórica é dada por
onde:
-
é a carga crítica de flambagem (N), -
é o módulo de elasticidade (Pa), -
é o momento de inércia da seção em relação ao eixo de flambagem (m^{4}), -
é o fator de comprimento efetivo (adotado para biarticulada), -
é o comprimento da coluna (m). -
Para uma seção transversal quadrada de lado
(eixos alinhados), o momento de inércia em qualquer eixo que passe pelo centro é
Explicação rápida: o momento de inércia mede a “resistência” geométrica à flexão/flambagem; para um quadrado de lado
a fórmula padrão é essa.
- Como usar o coeficiente de segurança: a carga crítica teórica precisa ser maior que a carga de projeto multiplicada pelo SF. Ou seja, exigir
Equivalente para projeto: calcular
e exigir
.
- Também há a verificação de resistência simples (compressão): a tensão média na seção sob
é
e deve satisfazer
. Se esta condição exigir uma seção maior do que a exigida pela flambagem, então a resistência do material governa o dimensionamento.
Vamos primeiro impor a condição de flambagem (com SF) e depois verificar a condição de resistência à compressão.
Passo 3
Impor a condição de flambagem com o SF e obter
.
- Calcule a carga de projeto para flambagem:
- Da fórmula de Euler, isolando
:
Substituindo
e
:
Passo 4
Calcular numericamente
exigido pela flambagem.
- Substituindo números:
Fazendo as contas (mostrando etapas):
Passo 5
Determinar o lado
a partir de
.
- Isolando
:
- Substituindo
:
Conclusão provisória: para satisfazer a flambagem com o SF dado, bastaria uma seção quadrada com
.
Passo 6
Verificação do critério de resistência (compressão simples). Isso é imprescindível: a flambagem pode não ser o único modo de falha.
- Área da seção:
. - Tensão média com
:
Com o
encontrado para flambagem
, temos:
- Comparando com
: a tensão obtida ( ) excede a admissível ( ). Portanto a seção calculada pela flambagem é insuficiente quanto à resistência do material — a verificação de compressão simples governa e exige seção maior.
Passo 7
Determinar a seção mínima exigida pela resistência simples e adotar-a; depois verificar novamente a flambagem com essa seção.
- A condição de resistência é
- Substituindo:
-
Adote
como mínimo por resistência. Agora verificar flambagem com esse : - Primeiro calcule
. Observação: como , então . Assim
- Calcular
:
Numericamente:- Dividindo por
:
que é maior que. Portanto, com tanto a resistência do material quanto a flambagem com o SF exigido estão satisfeitas (a resistência simples foi a condição controladora). - Primeiro calcule
Passo 8
Conclusão prática e recomendação.
- O dimensionamento é controlado pela resistência admissível à compressão. O menor lado de seção quadrada que atende simultaneamente à resistência e à flambagem (com
) é
- Em projeto prático, adotar uma dimensão comercial próxima e maior por segurança e tolerâncias; por exemplo, escolher
(130 mm).