Uma coluna biarticulada de 2 m de comprimento de seção transversal quadrada deve ser feita de madeira. Considerando que E= 13 \mathrm{GPa}, \sigma_{\text {adm }}=12 \mathrm{MPa}, e usando um coeficiente de segurança de 2,5 ao calcular a força crítica de Euler para a flambagem, determine a dimensão da seção transversal se a coluna deve suportar com segurança uma força de 200 kN

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados:
    • comprimento da coluna: L=2\\ \mathrm{m}.
    • material: madeira com módulo de elasticidade E=13\\ \mathrm{GPa} = 13\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
    • resistência admissível à compressão: \sigma_{\text{adm}}=12\\ \mathrm{MPa} = 12\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
    • carga de serviço que a coluna deve suportar: P_{\text{serv}}=200\\ \mathrm{kN} = 200\times10^{3}\\ \mathrm{N}.
    • coeficiente de segurança para flambagem (Euler): SF=2{,}5.
    • apoio da coluna: biarticulada (ambas as extremidades articuladas), logo o fator de comprimento efetivo é K=1.
  • O que se pede:
    • determinar a dimensão do lado da seção transversal quadrada (chame-a de a) para que a coluna suporte com segurança a carga dada, levando em conta tanto o critério de flambagem (Euler com o SF dado) quanto o critério de resistência do material ( \sigma_{\text{adm}}).

Passo 2

Estratégia e fórmulas fundamentais (mini-aula rápida e aplicada).
  • Flambagem de Euler (coluna esbelta, carregamento centrado): a carga crítica teórica é dada por
P_{\text{cr}}=\frac{\pi^{2} E I}{(K L)^{2}},
onde:
  • P_{\text{cr}} é a carga crítica de flambagem (N),
  • E é o módulo de elasticidade (Pa),
  • I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo de flambagem (m^{4}),
  • K é o fator de comprimento efetivo (adotado K=1 para biarticulada),
  • L é o comprimento da coluna (m).
  • Para uma seção transversal quadrada de lado a (eixos alinhados), o momento de inércia em qualquer eixo que passe pelo centro é
I=\frac{a^{4}}{12}.
Explicação rápida: o momento de inércia mede a “resistência” geométrica à flexão/flambagem; para um quadrado de lado a a fórmula padrão é essa.
  • Como usar o coeficiente de segurança: a carga crítica teórica precisa ser maior que a carga de projeto multiplicada pelo SF. Ou seja, exigir
P_{\text{cr}} \ge SF \cdot P_{\text{serv}}.
Equivalente para projeto: calcular P_{\text{req}} = SF\cdot P_{\text{serv}} e exigir P_{\text{cr}}\ge P_{\text{req}}.
  • Também há a verificação de resistência simples (compressão): a tensão média na seção sob P_{\text{serv}} é
\sigma=\frac{P_{\text{serv}}}{A}=\frac{P_{\text{serv}}}{a^{2}},
e deve satisfazer \sigma \le \sigma_{\text{adm}}. Se esta condição exigir uma seção maior do que a exigida pela flambagem, então a resistência do material governa o dimensionamento.
Vamos primeiro impor a condição de flambagem (com SF) e depois verificar a condição de resistência à compressão.

Passo 3

Impor a condição de flambagem com o SF e obter I.
  • Calcule a carga de projeto para flambagem:
P_{\text{req}} = SF\cdot P_{\text{serv}} = 2{,}5 \times 200\times10^{3}\\ \mathrm{N} = 500\times10^{3}\\ \mathrm{N}.
  • Da fórmula de Euler, isolando I:
I = \frac{P_{\text{req}} (K L)^{2}}{\pi^{2} E}.
Substituindo K=1 e L=2\\ \mathrm{m}:
I = \frac{P_{\text{req}} (2)^{2}}{\pi^{2} E} = \frac{4\,P_{\text{req}}}{\pi^{2} E}.

Passo 4

Calcular numericamente I exigido pela flambagem.
  • Substituindo números:
P_{\text{req}}=500\times10^{3}\\ \mathrm{N},\quad E=13\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
I=\frac{4\times(500\times10^{3})}{\pi^{2}\times(13\times10^{9})}.
Fazendo as contas (mostrando etapas):
\pi^{2}\approx 9{,}8696,
\text{denominador}=\pi^{2}E \approx 9{,}8696\times 13\times10^{9} \approx 1{,}2830486\times10^{11}.
\text{numerador}=4\times500\times10^{3}=2{,}0\times10^{6}.
I=\frac{2{,}0\times10^{6}}{1{,}2830486\times10^{11}}\approx 1{,}559\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{4}}.

Passo 5

Determinar o lado a a partir de I=\dfrac{a^{4}}{12}.
  • Isolando a:
a^{4}=12\,I \quad\Rightarrow\quad a=(12\,I)^{1/4}.
  • Substituindo I\approx 1{,}559\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{4}}:
12\,I \approx 12\times1{,}559\times10^{-5}=1{,}8708\times10^{-4}.
a=(1{,}8708\times10^{-4})^{1/4}\approx 0{,}1172\\ \mathrm{m}=117{,}2\\ \mathrm{mm}.
Conclusão provisória: para satisfazer a flambagem com o SF dado, bastaria uma seção quadrada com a\approx 0{,}117\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Verificação do critério de resistência (compressão simples). Isso é imprescindível: a flambagem pode não ser o único modo de falha.
  • Área da seção: A=a^{2}.
  • Tensão média com P_{\text{serv}}=200\times10^{3}\\ \mathrm{N}:
\sigma=\frac{P_{\text{serv}}}{a^{2}}.
Com o a encontrado para flambagem a\approx 0{,}1172\\ \mathrm{m}, temos:
a^{2}\approx (0{,}1172)^{2}\approx 0{,}01373\\ \mathrm{m^{2}},
\sigma=\frac{200\times10^{3}}{0{,}01373}\approx 14{,}6\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=14{,}6\\ \mathrm{MPa}.
  • Comparando com \sigma_{\text{adm}}=12\\ \mathrm{MPa}: a tensão obtida ( 14{,}6\\ \mathrm{MPa}) excede a admissível ( 12\\ \mathrm{MPa}). Portanto a seção calculada pela flambagem é insuficiente quanto à resistência do material — a verificação de compressão simples governa e exige seção maior.

Passo 7

Determinar a seção mínima exigida pela resistência simples e adotar-a; depois verificar novamente a flambagem com essa seção.
  • A condição de resistência é
\frac{P_{\text{serv}}}{a^{2}}\le \sigma_{\text{adm}} \quad\Rightarrow\quad a\ge \sqrt{\frac{P_{\text{serv}}}{\sigma_{\text{adm}}}}.
  • Substituindo:
a_{\text{min, resistência}}=\sqrt{\frac{200\times10^{3}}{12\times10^{6}}} =\sqrt{0{,}0166667}\approx 0{,}12910\\ \mathrm{m}=129{,}10\\ \mathrm{mm}.ê
  • Adote a=0{,}1291\\ \mathrm{m} como mínimo por resistência. Agora verificar flambagem com esse a:
    • Primeiro calcule I=\dfrac{a^{4}}{12}. Observação: como a^{2}=\dfrac{P_{\text{serv}}}{\sigma_{\text{adm}}}=0{,}0166667, então a^{4}=(a^{2})^{2}=(0{,}0166667)^{2}=0{,}0002777778. Assim
    I=\frac{0{,}0002777778}{12}=2{,}3148\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{4}}.
    • Calcular P_{\text{cr}}:
    P_{\text{cr}}=\frac{\pi^{2} E I}{(K L)^{2}} =\frac{\pi^{2}\times(13\times10^{9})\times(2{,}3148\times10^{-5})}{(2)^{2}}.
    Numericamente:
    P_{\text{cr}}\approx 742{,}3\times10^{3}\\ \mathrm{N}=742{,}3\\ \mathrm{kN}.
    • Dividindo por SF=2{,}5:
    \frac{P_{\text{cr}}}{SF}\approx \frac{742{,}3\\ \mathrm{kN}}{2{,}5}\approx 296{,}9\\ \mathrm{kN},
    que é maior que P_{\text{serv}}=200\\ \mathrm{kN}. Portanto, com a=0{,}1291\\ \mathrm{m} tanto a resistência do material quanto a flambagem com o SF exigido estão satisfeitas (a resistência simples foi a condição controladora).

Passo 8

Conclusão prática e recomendação.
  • O dimensionamento é controlado pela resistência admissível à compressão. O menor lado de seção quadrada que atende simultaneamente à resistência e à flambagem (com SF=2{,}5) é
a \approx 0{,}1291\\ \mathrm{m}\\ (129{,}1\\ \mathrm{mm}).
  • Em projeto prático, adotar uma dimensão comercial próxima e maior por segurança e tolerâncias; por exemplo, escolher a=0{,}130\\ \mathrm{m} (130 mm).

Resposta

a=0{,}1291\\ \mathrm{m}\approx129{,}1\\ \mathrm{mm} (adotar 130\\ \mathrm{mm} comercialmente).

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