Diga se as seguintes séries convergem ou divergem.
1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots+\frac{1}{2 n-1}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1}
converge ou diverge. Vamos usar o teste de comparação e o fato de que a série harmônica diverge.

Passo 2

Repare que para todo n\ge1 vale
2n-1 \le 2n,
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\frac{1}{2n-1} \ge \frac{1}{2n}.

Passo 3

Considere a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n} = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.
Sabemos que \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} é a série harmônica, que diverge. Portanto \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n} também diverge.

Passo 4

Como os termos de \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1} são não negativos e satisfazem
\frac{1}{2n-1}\ge\frac{1}{2n}
para todo n, o teste de comparação direta diz que \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1} também diverge.

Resposta

A série diverge.

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