Diga se as seguintes séries convergem ou divergem.
1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{5^{2}}+\frac{1}{7^{2}}+\cdots+\frac{1}{(2 n-1)^{2}}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série dos inversos dos quadrados dos números ímpares
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k-1)^{2}}
converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é o teste de comparação com a série p-série, que afirma que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1.

Passo 2

Observamos que cada termo da série original é
a_{k}=\frac{1}{(2k-1)^{2}}.
Como 2k-1 < 2k, temos
(2k-1)^{2} < (2k)^{2} =4k^{2},
logo
\frac{1}{(2k-1)^{2}} > \frac{1}{4k^{2}} = \frac{1}{4}\,\frac{1}{k^{2}}.
Mas para aplicar o teste de comparação numa forma conveniente, notamos também que
(2k-1)^{2} > k^{2},
pois 2k-1>k para todo k\ge1. Então
\frac{1}{(2k-1)^{2}} < \frac{1}{k^{2}}.

Passo 3

Agora comparamos a série dos ímpares com a p-série de p=2:
0 \le \frac{1}{(2k-1)^{2}} < \frac{1}{k^{2}}.
Sabemos que
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}
é convergente porque p=2>1. Pelo teste da comparação, a série dos inversos dos quadrados dos ímpares também converge.

Passo 4

Opcionalmente, lembramos que existe uma fórmula fechada para essa soma:
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k-1)^{2}} = \frac{\pi^{2}}{8},
mas o que importa para o enunciado é apenas a convergência.

Resposta

A série converge.

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