Diga se as seguintes séries convergem ou divergem.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série dos inversos dos quadrados dos números ímpares
converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é o teste de comparação com a série
-série, que afirma que
converge se, e somente se,
.
Passo 2
Observamos que cada termo da série original é
Como
, temos
logo
Mas para aplicar o teste de comparação numa forma conveniente, notamos também que
pois
para todo
. Então
Passo 3
Agora comparamos a série dos ímpares com a
-série de
:
Sabemos que
é convergente porque
. Pelo teste da comparação, a série dos inversos dos quadrados dos ímpares também converge.
Passo 4
Opcionalmente, lembramos que existe uma fórmula fechada para essa soma:
mas o que importa para o enunciado é apenas a convergência.
Resposta
A série converge.