Dilatação
Um copo de vidro tem o formato de um tronco de cone com altura h , raio maior Re raio menor de r a uma temperatura de T0. Se o copo é aquecido até Tf qual será a variação do raio menor (em micrometros)? O coeficiente de expansão volumétrica para o vidro temperado é de (9,910^{-6} K^{-1}), as equações mostradas no slide 31 da primeira aula são válidas assim como as aproximações (γ=3α e β=2α).
\mathrm{h}=10 \mathrm{~cm}
\mathrm{R}=3 \mathrm{~cm}
\mathrm{r}=2 \mathrm{~cm}
T0 = 25 celcius
\mathrm{Tf}=100 celcius
Marque a alternativa correta (respostas em micrometros)
\bigcirc 3,71
\bigcirc 1,45
\bigcirc 5,25
\bigcirc 7,42
\bigcirc 4,49
\bigcirc 2,47
\bigcirc 1,32
\bigcirc 145,30
\bigcirc 0,99
\bigcirc 298,45
\bigcirc 4,94
\bigcirc 3,21
\bigcirc 6,76

Passo 1

O que o problema pede: calcular a variação do raio menor do copo (ou seja, a variação de \,r\,) quando o copo é aquecido de \,T_0=25^\circ\text{C}\, até \,T_f=100^\circ\text{C}\,. A resposta deve ser dada em micrômetros ( \mu\text{m}) e devemos escolher a alternativa correta entre as fornecidas.
Dados fornecidos:
h=10\\ \text{cm},
R=3\\ \text{cm},
r=2\\ \text{cm},
T_0=25^\circ\text{C},
T_f=100^\circ\text{C},
\gamma=9,9\times10^{-6}\\ \text{K}^{-1}.
A variação de temperatura é
\Delta T = T_f-T_0.

Passo 2

Calcular \Delta T. Como \,T_f=100^\circ\text{C} e \,T_0=25^\circ\text{C},
\Delta T = 100-25 = 75\\ \text{K}.
(Usamos K e °C indistintamente para variação de temperatura.)

Passo 3

Determinar o coeficiente de dilatação linear \alpha. Para um material isotrópico e para pequenas variações de temperatura vale a aproximação
\gamma \approx 3\alpha,
logo
\alpha = \frac{\gamma}{3}.
Substituindo \gamma=9,9\times10^{-6}\\ \text{K}^{-1},
\alpha = \frac{9,9\times10^{-6}}{3}=3,3\times10^{-6}\\ \text{K}^{-1}.

Passo 4

Entender a fórmula usada para a variação linear: para pequenas variações de temperatura a expansão linear de um comprimento L é aproximadamente
\Delta L = \alpha\,L\,\Delta T,
onde \Delta L é a variação do comprimento, \alpha é o coeficiente linear e \Delta T a variação de temperatura. Aqui o raio r é um comprimento, portanto
\Delta r = \alpha\,r\,\Delta T.

Passo 5

Converter r para unidades úteis e calcular \Delta r.
O raio inicial é \,r=2\\ \text{cm}=0,02\\ \text{m}. Em micrômetros:
r = 0,02\\ \text{m} = 0,02\times10^{6}\\ \mu\text{m}=20000\\ \mu\text{m}.
Calcular \Delta r em metros usando \alpha=3,3\times10^{-6}\\ \text{K}^{-1} e \Delta T=75\\ \text{K}:
\Delta r = \alpha\,r\,\Delta T = \left(3,3\times10^{-6}\right)\times0,02\times75.
Fazendo as contas passo a passo:
3,3\times10^{-6}\times0,02 = 6,6\times10^{-8},
6,6\times10^{-8}\times75 = 4,95\times10^{-6}\\ \text{m}.
Converter para micrômetros ( 1\\ \text{m}=10^{6}\\ \mu\text{m}):
\Delta r = 4,95\times10^{-6}\\ \text{m} = 4,95\\ \mu\text{m}.

Passo 6

Interpretação e escolha da alternativa: o resultado calculado é \,4,95\\ \mu\text{m}. Entre as alternativas fornecidas a que mais se aproxima (diferença de arredondamento) é \,4,94\\ \mu\text{m}.

Resposta

4,94\\ \mu\text{m}

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