QUESTÃO ( 2,0 pontos)
Em um trecho de rodovia temos duas curvas circulares simples: a primeira começando na estaca [10+0,00] e terminando na estaca
com
de raio e a segunda começando na estaca [35+14,60] e terminando na estaca [
] com
de raio. Deseja-se aumentar o raio da primeira curva para 600,00 m sem alterar a extensão do trecho. Qual será o raio da segunda curva?
Em um trecho de rodovia temos duas curvas circulares simples: a primeira começando na estaca [10+0,00] e terminando na estaca
Passo 1
O enunciado pede que se encontre o novo raio da segunda curva quando se aumenta o raio da primeira curva de
para
sem alterar a extensão (as estacas) do trecho.
Dados que peguei do enunciado:
Dados que peguei do enunciado:
- primeira curva: começa em
e termina em ; raio inicial e raio desejado ; - segunda curva: começa em
e termina em ; raio inicial e raio final desconhecido.
Calculei as extensões (comprimentos) das curvas a partir das estacas dadas (peguei esses números do enunciado):
Passo 2
Conceito básico que vamos usar (explicadinho): a relação entre o comprimento de uma curva circular simples, o raio e o ângulo central é
onde
é o comprimento da curva (em metros),
é o raio (em metros) e
é o ângulo central em radianos. Aqui:
- se eu conheço
e , posso obter o ângulo como ; - se eu conheço
e , o comprimento é .
Importante: o ângulo
deve ser expresso em radianos quando usamos
. Não precisamos converter para graus, porque a fórmula já está em radianos.
Passo 3
Por que conseguimos relacionar as duas curvas? Explicação conceitual e física: o trecho total entre o início da primeira curva e o fim da segunda curva tem um desvio total de direção que é a soma dos dois ângulos centrais das curvas. As estacas finais e iniciais estão fixas (o enunciado diz que não se altera a extensão do trecho), então esse desvio total não pode mudar. Em fórmulas:
Usando
obtemos:
Essa é a equação que liga os raios antigos e novos, e que permite achar
.
Passo 4
Isolando
na equação do passo anterior:
Dividindo ambos os lados por
,
Portanto
Passo 5
Agora vamos substituir os valores numéricos (todos os números abaixo eu peguei dos cálculos das estacas e dos dados do enunciado):
Primeiro calcule cada termo:
Primeiro calcule cada termo:
Some e subtraia conforme a fórmula:
Divida por
:
Finalmente, inverta para obter
:
Arredondando razoavelmente (mantendo duas casas decimais, coerente com os dados do enunciado):
Passo 6
Interpretação rápida: ao aumentar o raio da primeira curva de
para
(curva mais suave), para manter o mesmo desvio total do trecho a segunda curva precisa reduzir seu raio de
para cerca de
(ou seja, ficar mais acentuada).