1{ }^{\text {a }} QUESTÃO ( 2,0 pontos)
Em um trecho de rodovia temos duas curvas circulares simples: a primeira começando na estaca [10+0,00] e terminando na estaca [20+9,44] com 300,00 \mathrm{~m} de raio e a segunda começando na estaca [35+14,60] e terminando na estaca [ 75+0,00 ] com 1.500,00 \mathrm{~m} de raio. Deseja-se aumentar o raio da primeira curva para 600,00 m sem alterar a extensão do trecho. Qual será o raio da segunda curva?

Passo 1

O enunciado pede que se encontre o novo raio da segunda curva quando se aumenta o raio da primeira curva de \,300,00\\ \mathrm{m} para \,600,00\\ \mathrm{m} sem alterar a extensão (as estacas) do trecho.
Dados que peguei do enunciado:
  • primeira curva: começa em [10+0,00] e termina em [20+9,44]; raio inicial \,R_1=300,00\\ \mathrm{m} e raio desejado \,R_1'=600,00\\ \mathrm{m};
  • segunda curva: começa em [35+14,60] e termina em [75+0,00]; raio inicial \,R_2=1500,00\\ \mathrm{m} e raio final \,R_2' desconhecido.
Calculei as extensões (comprimentos) das curvas a partir das estacas dadas (peguei esses números do enunciado):
L_1=(20+9,44)-(10+0,00)=2000,00+9,44-1000,00=1009,44\\ \mathrm{m},
L_2=(75+0,00)-(35+14,60)=7500,00-3514,60=3985,40\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (explicadinho): a relação entre o comprimento de uma curva circular simples, o raio e o ângulo central é
L=R\theta,
onde L é o comprimento da curva (em metros), R é o raio (em metros) e \theta é o ângulo central em radianos. Aqui:
  • se eu conheço L e R, posso obter o ângulo como \theta=\dfrac{L}{R};
  • se eu conheço \theta e R, o comprimento é L=R\theta.
Importante: o ângulo \theta deve ser expresso em radianos quando usamos L=R\theta. Não precisamos converter para graus, porque a fórmula já está em radianos.

Passo 3

Por que conseguimos relacionar as duas curvas? Explicação conceitual e física: o trecho total entre o início da primeira curva e o fim da segunda curva tem um desvio total de direção que é a soma dos dois ângulos centrais das curvas. As estacas finais e iniciais estão fixas (o enunciado diz que não se altera a extensão do trecho), então esse desvio total não pode mudar. Em fórmulas:
\theta_1+\theta_2=\theta_1'+\theta_2'.
Usando \theta=\dfrac{L}{R} obtemos:
\frac{L_1}{R_1}+\frac{L_2}{R_2}=\frac{L_1}{R_1'}+\frac{L_2}{R_2'}.
Essa é a equação que liga os raios antigos e novos, e que permite achar R_2'.

Passo 4

Isolando \dfrac{1}{R_2'} na equação do passo anterior:
\frac{L_2}{R_2'}=\frac{L_1}{R_1}+\frac{L_2}{R_2}-\frac{L_1}{R_1'}.
Dividindo ambos os lados por L_2,
\frac{1}{R_2'}=\frac{1}{L_2}\left(\frac{L_1}{R_1}+\frac{L_2}{R_2}-\frac{L_1}{R_1'}\right).
Portanto
R_2'=\frac{1}{\dfrac{1}{L_2}\left(\dfrac{L_1}{R_1}+\dfrac{L_2}{R_2}-\dfrac{L_1}{R_1'}\right)}.

Passo 5

Agora vamos substituir os valores numéricos (todos os números abaixo eu peguei dos cálculos das estacas e dos dados do enunciado):
Primeiro calcule cada termo:
\frac{L_1}{R_1}=\frac{1009,44}{300,00}=3,3648,
\frac{L_2}{R_2}=\frac{3985,40}{1500,00}=2,656933333\ldots,
\frac{L_1}{R_1'}=\frac{1009,44}{600,00}=1,6824.
Some e subtraia conforme a fórmula:
\frac{L_1}{R_1}+\frac{L_2}{R_2}-\frac{L_1}{R_1'}=3,3648+2,656933333\ldots-1,6824=4,339333333\ldots
Divida por L_2:
\frac{1}{R_2'}=\frac{4,339333333\ldots}{3985,40}=0,001088819\ldots
Finalmente, inverta para obter R_2':
R_2'=\frac{1}{0,001088819\ldots}=918,301\ldots\\ \mathrm{m}.
Arredondando razoavelmente (mantendo duas casas decimais, coerente com os dados do enunciado):
R_2'\approx 918,30\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Interpretação rápida: ao aumentar o raio da primeira curva de 300{,}00\\ \mathrm{m} para 600{,}00\\ \mathrm{m} (curva mais suave), para manter o mesmo desvio total do trecho a segunda curva precisa reduzir seu raio de 1500{,}00\\ \mathrm{m} para cerca de 918{,}30\\ \mathrm{m} (ou seja, ficar mais acentuada).

Resposta

R_2'\approx 918,30\\ \mathrm{m}

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