Dimensionar a superfície da base necessária para a carga P , para as diferentes tensões admissíveis do solo:
Dimensionar em ambos os casos com uma superfície quadrada (a
a) e outra retangular (a
;
)
Considerar o peso próprio da base como um 7% do valor de P.
Dimensionar em ambos os casos com uma superfície quadrada (a
Considerar o peso próprio da base como um 7% do valor de P.
Passo 1
- O que o enunciado pede: dimensionar a superfície da base necessária para resistir à carga
de modo que a tensão no solo não exceda , para os dois valores e . Fazer isso em dois formatos de sapata: quadrada e retangular com . - Dados fornecidos (tirados da figura e do enunciado):
- altura da aplicação da carga até a base:
(pego na figura), - peso próprio da base =
do valor de , - dois valores de tensão admissível:
e , - razão para o caso retangular:
.
- altura da aplicação da carga até a base:
- Informação NÃO fornecida: o valor numérico de
. Não vou pedir esse valor — vou apresentar a solução em forma de procedimento e fórmulas que você poderá usar substituindo o valor de que tiver. Se quiser, depois me passe um valor de e eu calculo numericamente.
Passo 2
- Primeiro passo físico e simplificação (como pensar na prova): a carga horizontal
aplicada no topo da coluna provoca: - uma força vertical que carrega o solo: somente o peso da sapata não está explicitado, mas o enunciado pede considerar o peso próprio da base igual a
de . Assim a resultante vertical sobre o solo é
- um momento de tombamento na base igual a (força horizontal × altura):
- a excentricidade da resultante vertical em relação ao centro geométrico da sapata é
Observe que o cancela e portanto a excentricidade depende só de . Substituindo : - uma força vertical que carrega o solo: somente o peso da sapata não está explicitado, mas o enunciado pede considerar o peso próprio da base igual a
Passo 3
- Como a excentricidade gera distribuição não uniforme de tensões no solo, usamos a expressão clássica (linha de ação do carregamento deslocada na direção de
) para a tensão máxima sob um patamar retangular, quando a excentricidade é medida na direção do lado : onde: -
é a resultante vertical sobre a sapata ( ), -
é a área de contato da sapata com o solo, -
é a dimensão da sapata na direção da excentricidade, -
é a excentricidade definida acima.
-
- Observação importante (regra do “terço médio”): para que não haja levantamento (tensão negativa em algum ponto) o resultado deve estar dentro do terço médio; isso equivale a exigir
. Se parte da sapata fica sem contato e a distribuição muda de linear para triangular/parcial, e o cálculo fica mais complexo. Na prática, numa prova você pode: - ou exigir
(projeto conservador que impede levantamento), - ou resolver explicitamente o caso de contato parcial (mais trabalhoso).
Vou mostrar a forma geral com a fórmula dee indicar também a condição conservadora .
- ou exigir
Passo 4
- Caso 1: sapata quadrada
. - Área:
. - Usando a fórmula da tensão máxima e impondo
obtemos a desigualdade
- Substituindo
isto vira a equação cúbica (a ser satisfeita por ):
- Esta é a equação que você resolve (numericamente ou analiticamente) para encontrar a menor raiz positiva
que satisfaça a desigualdade. Uma vez obtido , a área necessária é
- Alternativa conservadora (evitar levantamento): exigir também
. Então escolha
Na prática, frequentemente domina (veja o valor de calculado: , então — muito grande). - Área:
Passo 5
- Caso 2: sapata retangular com
(a excentricidade considerada na direção do lado , que é o maior). - Como
temos . - A área é
- Aplicando a mesma fórmula da tensão máxima:
- Impor
leva à cúbica
- Novamente, resolva numericamente esta inequação para a menor
que satisfaz, e então
- Alternativa conservadora: exigir
para evitar levantamento.
- Como
Passo 6
- Como resolver as cúbicas na prática (método de prova sem calculadora/na calculadora):
- a cúbica para o caso quadrado é
- para o retangular
- essas equações podem ser resolvidas por tentativa e erro (teste de valores de
), por métodos numéricos simples (método da bisseção, Newton) ou por calculadora/Excel. Em prova, geralmente o professor permite usar calculadora para iteração; se não permitir, use o método conservador e compare com a condição de pressão uniforme .
- Dica rápida de estimativa sem iteração: calcule duas quantidades:
-
— dimensão se a pressão fosse uniforme (sem momento). -
— dimensão necessária para garantir ausência de levantamento.
- Se
for muito grande, então aceitará que a solução sem levantamento é enorme; frequentemente o projeto aceitará alguma elevação parcial e aí voltamos às cúbicas. Se já for maior do que uma estimativa inicial, comece testes próximos a .
-
Passo 7
- Vamos exemplificar o procedimento em forma prática (sem escolher um
numérico): - calcule
, - calcule
, - então resolva a cúbica indicada para o caso quadrado para obter
e retangular para obter ; a área é (quadrado) ou (retangular).
- calcule
- Se você preferir, posso já calcular os valores numéricos de
, e para os dois se você me der um valor de . Sem esse apenas as expressões gerais são fornecidas.
Resposta
Caso quadrado (a×a): resolver para
a cúbica
com
. Área requerida
.
Caso retangular (a×b,
): resolver para
a cúbica
com
e
.
Observação final:
(independe de
). Se desejar, me passe o valor de
e eu calculo numericamente
,
e
para
e
.