Dimensionar a superfície da base necessária para a carga P , para as diferentes tensões admissíveis do solo:
\sigma_{\text {adm }}=80 \mathrm{kPa}
\sigma_{\text {adm }}=250 \mathrm{kPa}
Dimensionar em ambos os casos com uma superfície quadrada (a \times a) e outra retangular (a \times b; \mathrm{a} / \mathrm{b}=1,5 )
Considerar o peso próprio da base como um 7% do valor de P.

Passo 1

  • O que o enunciado pede: dimensionar a superfície da base necessária para resistir à carga \,P\, de modo que a tensão no solo não exceda \sigma_{\text{adm}}, para os dois valores \sigma_{\text{adm}}=80\\ \mathrm{kPa} e \sigma_{\text{adm}}=250\\ \mathrm{kPa}. Fazer isso em dois formatos de sapata: quadrada (a\times a) e retangular com \dfrac{a}{b}=1{,}5.
  • Dados fornecidos (tirados da figura e do enunciado):
    • altura da aplicação da carga até a base: \,h=3{,}60\\ \mathrm{m} (pego na figura),
    • peso próprio da base = 7\% do valor de \,P,
    • dois valores de tensão admissível: \sigma_{\text{adm}}=80\\ \mathrm{kPa} e \sigma_{\text{adm}}=250\\ \mathrm{kPa},
    • razão para o caso retangular: \dfrac{a}{b}=1{,}5.
  • Informação NÃO fornecida: o valor numérico de \,P. Não vou pedir esse valor — vou apresentar a solução em forma de procedimento e fórmulas que você poderá usar substituindo o valor de \,P que tiver. Se quiser, depois me passe um valor de \,P e eu calculo numericamente.

Passo 2

  • Primeiro passo físico e simplificação (como pensar na prova): a carga horizontal \,P\, aplicada no topo da coluna provoca:
    • uma força vertical que carrega o solo: somente o peso da sapata não está explicitado, mas o enunciado pede considerar o peso próprio da base igual a 7\% de \,P. Assim a resultante vertical sobre o solo é
    V = P + 0{,}07\,P = 1{,}07\,P.
    • um momento de tombamento na base igual a (força horizontal × altura):
    M = P\cdot h.
    • a excentricidade da resultante vertical em relação ao centro geométrico da sapata é
    e = \dfrac{M}{V} = \dfrac{P\cdot h}{1{,}07\,P} = \dfrac{h}{1{,}07}.Observe que o \,P\, cancela e portanto a excentricidade depende só de \,h. Substituindo \,h=3{,}60\\ \mathrm{m}: e=\dfrac{3{,}60}{1{,}07}\approx 3{,}3645\\ \mathrm{m}.

Passo 3

  • Como a excentricidade gera distribuição não uniforme de tensões no solo, usamos a expressão clássica (linha de ação do carregamento deslocada na direção de a) para a tensão máxima sob um patamar retangular, quando a excentricidade é medida na direção do lado a: \sigma_{\max}=\dfrac{V}{A}\left(1+\dfrac{6e}{a}\right),onde:
    • \,V é a resultante vertical sobre a sapata ( 1{,}07P),
    • \,A é a área de contato da sapata com o solo,
    • \,a é a dimensão da sapata na direção da excentricidade,
    • \,e é a excentricidade definida acima.
  • Observação importante (regra do “terço médio”): para que não haja levantamento (tensão negativa em algum ponto) o resultado deve estar dentro do terço médio; isso equivale a exigir |e|\le a/6. Se |e|>a/6 parte da sapata fica sem contato e a distribuição muda de linear para triangular/parcial, e o cálculo fica mais complexo. Na prática, numa prova você pode:
    • ou exigir a\ge 6e (projeto conservador que impede levantamento),
    • ou resolver explicitamente o caso de contato parcial (mais trabalhoso).
      Vou mostrar a forma geral com a fórmula de \sigma_{\max} e indicar também a condição conservadora a\ge 6e.

Passo 4

  • Caso 1: sapata quadrada (a\times a).
    • Área: A=a^2.
    • Usando a fórmula da tensão máxima e impondo \sigma_{\max}\le\sigma_{\text{adm}} obtemos a desigualdade
    \dfrac{V}{a^2}\left(1+\dfrac{6e}{a}\right)\le\sigma_{\text{adm}}.
    • Substituindo V=1{,}07P isto vira a equação cúbica (a ser satisfeita por a):
    \sigma_{\text{adm}}\,a^3 - 1{,}07\,P\,a - 6\cdot 1{,}07\,P\,e \ge 0.
    • Esta é a equação que você resolve (numericamente ou analiticamente) para encontrar a menor raiz positiva a que satisfaça a desigualdade. Uma vez obtido a, a área necessária é
    A = a^2.
    • Alternativa conservadora (evitar levantamento): exigir também a\ge 6e. Então escolha
    a \ge \max\left\{\,\text{raiz da cúbica},\\\ 6e \,\right\}.úNa prática, frequentemente 6e domina (veja o valor de e calculado: e\approx 3{,}3645\\ \mathrm{m}, então 6e\approx 20{,}187\\ \mathrm{m} — muito grande).

Passo 5

  • Caso 2: sapata retangular com \dfrac{a}{b}=1{,}5 (a excentricidade considerada na direção do lado a, que é o maior).
    • Como \dfrac{a}{b}=1{,}5 temos b=\dfrac{a}{1{,}5}=\dfrac{2}{3}a.
    • A área é
    A = a\cdot b = a\cdot \dfrac{2}{3}a = \dfrac{2}{3}a^2.
    • Aplicando a mesma fórmula da tensão máxima:
    \sigma_{\max}=\dfrac{V}{A}\left(1+\dfrac{6e}{a}\right)=\dfrac{V}{\tfrac{2}{3}a^2}\left(1+\dfrac{6e}{a}\right)=\dfrac{3V}{2a^2}\left(1+\dfrac{6e}{a}\right).
    • Impor \sigma_{\max}\le\sigma_{\text{adm}} leva à cúbica
    \dfrac{2}{3}\sigma_{\text{adm}}\,a^3 - 1{,}07\,P\,a - 6\cdot1{,}07\,P\,e \ge 0.
    • Novamente, resolva numericamente esta inequação para a menor a>0 que satisfaz, e então
    A = \dfrac{2}{3}a^2,\qquad b=\dfrac{2}{3}a.
    • Alternativa conservadora: exigir a\ge 6e para evitar levantamento.

Passo 6

  • Como resolver as cúbicas na prática (método de prova sem calculadora/na calculadora):
    • a cúbica para o caso quadrado é
    f(a)=\sigma_{\text{adm}}\,a^3 - 1{,}07\,P\,a - 6\cdot1{,}07\,P\,e = 0.
    • para o retangular
    g(a)=\dfrac{2}{3}\sigma_{\text{adm}}\,a^3 - 1{,}07\,P\,a - 6\cdot1{,}07\,P\,e = 0.
    • essas equações podem ser resolvidas por tentativa e erro (teste de valores de a), por métodos numéricos simples (método da bisseção, Newton) ou por calculadora/Excel. Em prova, geralmente o professor permite usar calculadora para iteração; se não permitir, use o método conservador a\ge6e e compare com a condição de pressão uniforme \,a\ge\sqrt{V/\sigma_{\text{adm}}}.
  • Dica rápida de estimativa sem iteração: calcule duas quantidades:
    1. a_1=\sqrt{\dfrac{V}{\sigma_{\text{adm}}}} — dimensão se a pressão fosse uniforme (sem momento).
    2. a_2=6e — dimensão necessária para garantir ausência de levantamento.
    • Se a_2 for muito grande, então aceitará que a solução sem levantamento é enorme; frequentemente o projeto aceitará alguma elevação parcial e aí voltamos às cúbicas. Se a_1 já for maior do que uma estimativa inicial, comece testes próximos a a_1.

Passo 7

  • Vamos exemplificar o procedimento em forma prática (sem escolher um P numérico):
    • calcule V=1{,}07P,
    • calcule e\approx 3{,}3645\\ \mathrm{m},
    • então resolva a cúbica indicada para o caso quadrado para obter a e retangular para obter a; a área é A=a^2 (quadrado) ou A=\dfrac{2}{3}a^2 (retangular).
  • Se você preferir, posso já calcular os valores numéricos de a, b e A para os dois \sigma_{\text{adm}} se você me der um valor de \,P. Sem esse P apenas as expressões gerais são fornecidas.

Resposta

Caso quadrado (a×a): resolver para a a cúbica
\sigma_{\text{adm}}\,a^3 - 1{,}07\,P\,a - 6\cdot 1{,}07\,P\cdot e = 0,
com e=\dfrac{3{,}60}{1{,}07}\approx 3{,}3645\\ \mathrm{m}. Área requerida A=a^2.
Caso retangular (a×b, a/b=1{,}5): resolver para a a cúbica
\dfrac{2}{3}\sigma_{\text{adm}}\,a^3 - 1{,}07\,P\,a - 6\cdot 1{,}07\,P\cdot e = 0,
com b=\dfrac{2}{3}a e A=\dfrac{2}{3}a^2.
Observação final: e\approx 3{,}3645\\ \mathrm{m} (independe de P). Se desejar, me passe o valor de \,P e eu calculo numericamente a, b e A para \sigma_{\text{adm}}=80\\ \mathrm{kPa} e \sigma_{\text{adm}}=250\\ \mathrm{kPa}.

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